Seja
. Prove que:
Passo 1
Beleza, pessoal! A gente vai resolver um exercício de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil em matemática aplicada e engenharia. O que a gente precisa provar é que a transformada de Laplace da terceira derivada de uma função $ f(t) $ é igual a $ s^{3} F(s) - s^{2} f(0) - s f^{\prime}(0) - f^{\prime \prime}(0) $, onde $ F(s) $ é a transformada de Laplace de $ f(t) $. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace aplicadas a derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Isso significa que, para cada derivada que a gente der, vai aparecer um fator de $ s $ e subtrair alguns valores iniciais da função e suas derivadas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso para a segunda derivada. Usando a mesma propriedade:
Perceba como a cada passo a gente vai multiplicando por $ s $ e subtraindo os valores iniciais.
Passo 4
Seguimos para a terceira derivada. Aplicando a propriedade novamente:
Substituindo o que encontramos para $ \mathcal{L}{f’’(t)} $:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Isso mostra que a transformada de Laplace da terceira derivada de $ f(t) $ realmente é $ s^{3} F(s) - s^{2} f(0) - s f’(0) - f’’(0) $.
Resposta
Portanto, provamos que: