Seja F(s)=Lf(t). Prove que:
Lf^prime prime prime(t)=s^3 F(s)-s^2 f(0)-s f^prime(0)-f^prime prime(0)

Passo 1

Beleza, pessoal! A gente vai resolver um exercício de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil em matemática aplicada e engenharia. O que a gente precisa provar é que a transformada de Laplace da terceira derivada de uma função $ f(t) $ é igual a $ s^{3} F(s) - s^{2} f(0) - s f^{\prime}(0) - f^{\prime \prime}(0) $, onde $ F(s) $ é a transformada de Laplace de $ f(t) $. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace aplicadas a derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Lf'(t) = s F(s) - f(0)
Isso significa que, para cada derivada que a gente der, vai aparecer um fator de $ s $ e subtrair alguns valores iniciais da função e suas derivadas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso para a segunda derivada. Usando a mesma propriedade:
Lf''(t) = s Lf'(t) - f'(0) = s (s F(s) - f(0)) - f'(0) = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)
Perceba como a cada passo a gente vai multiplicando por $ s $ e subtraindo os valores iniciais.

Passo 4

Seguimos para a terceira derivada. Aplicando a propriedade novamente:
Lf'''(t) = s Lf''(t) - f''(0)
Substituindo o que encontramos para $ \mathcal{L}{f’’(t)} $:
Lf''(t)

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
Lf'''(t) = s^3 F(s) - s^2 f(0) - s f'(0) - f''(0)
Isso mostra que a transformada de Laplace da terceira derivada de $ f(t) $ realmente é $ s^{3} F(s) - s^{2} f(0) - s f’(0) - f’’(0) $.

Resposta

Portanto, provamos que:
Lf'''(t) = s^3 F(s) - s^2 f(0) - s f'(0) - f''(0)

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