Provar que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
. Isso envolve cálculo de integrais duplas, mudança de ordem de integração e uma decomposição de regiões.
Passo 2
Pela regra de Fubini,quando temos um produto de funções que dependem de variáveis distintas, valem os seguintes passos: primeiro escrevemos a integral dupla sobre o quadrado
:
Passo 3
Em seguida, percebemos que o quadrado
pode ser dividido em duas regiões triangulares:
- Região 1:
- Região 2:
.
Assim podemos escrever:
Passo 4
Como a função integrando
é simétrica em
e
, as duas integrais acima são iguais. Logo:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados da última igualdade por 2 e usando o resultado de Fubini do passo 2, obtemos:
Resposta
Demonstrou-se que
.