Provar que 2 integrala^b integralx^b f(x) f(y) d y d x=(integrala^b f(x) d x)^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 2 integrala^b integralx^b f(x),f(y),dy,dx = (integrala^b f(x),dx)^2. Isso envolve cálculo de integrais duplas, mudança de ordem de integração e uma decomposição de regiões.

Passo 2

Pela regra de Fubini,quando temos um produto de funções que dependem de variáveis distintas, valem os seguintes passos: primeiro escrevemos a integral dupla sobre o quadrado [a,b]times[a,b]:
integrala^bintegrala^b f(x),f(y),dy,dx = l(integrala^b f(x),dxr)cdotl(integrala^b f(y),dyr) = l(integrala^b f(x),dxr)^2

Passo 3

Em seguida, percebemos que o quadrado [a,b]times[a,b] pode ser dividido em duas regiões triangulares:
  • Região 1: a<= y<= x<= b
  • Região 2: a<= x<= y<= b.
    Assim podemos escrever:
integrala^bintegrala^b f(x)f(y),dy,dx = integrala^bintegrala^x f(x)f(y),dy,dx + integrala^bintegralx^b f(x)f(y),dy,dx

Passo 4

Como a função integrando f(x)f(y) é simétrica em x e y, as duas integrais acima são iguais. Logo:
integrala^bintegralx^b f(x)f(y),dy,dx = integrala^bintegrala^x f(x)f(y),dy,dx = tfrac12 integrala^bintegrala^b f(x)f(y),dy,dx

Passo 5

Multiplicando ambos os lados da última igualdade por 2 e usando o resultado de Fubini do passo 2, obtemos:
2integrala^bintegralx^b f(x)f(y),dy,dx = integrala^bintegrala^b f(x)f(y),dy,dx = l(integrala^b f(x),dxr)^2

Resposta

Demonstrou-se que 2 integrala^b integralx^b f(x)f(y),dy,dx = (integrala^b f(x),dx)^2.

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