Seja
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a) Identifique a região
de integração.
D). Calcule a integral por inversão da ordem de integração.
a) Identifique a região
D). Calcule a integral por inversão da ordem de integração.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: Temos a integral dupla
O conteúdo é troca de ordem de integração e cálculo de integrais utilizando substituição.
Passo 2
Descrição da região D: A região D é dada por
ou seja, todos os pontos (x,y) no retângulo [0,3]×[0,2] acima da reta y=2x/3.
Passo 3
Determinação dos novos limites em função de y: Para um dado y, x varia de modo que 2x/3≤y e x≤3. Como 2x/3≤y ⇔ x≤3y/2 e y vai de seu mínimo 0 até máximo 2, temos
Passo 4
Troca da ordem de integração: A integral passa a ser
Passo 5
Cálculo da integral: Primeiro integramos em x, tratando y como constante:
Logo
Fazendo a substituição u=y^{2}, du=2y,dy,