Seja I=integral0^3 integral2 x / 3^2 e^y^2 d ydx.
a) Identifique a região D de integração.
D). Calcule a integral por inversão da ordem de integração.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Temos a integral dupla
I=integral0^3integral2x/3^2e^y^2,dy,dx
O conteúdo é troca de ordem de integração e cálculo de integrais utilizando substituição.

Passo 2

Descrição da região D: A região D é dada por
0<= x<= 3, tfrac2x3<= y<= 2
ou seja, todos os pontos (x,y) no retângulo [0,3]×[0,2] acima da reta y=2x/3.

Passo 3

Determinação dos novos limites em função de y: Para um dado y, x varia de modo que 2x/3≤y e x≤3. Como 2x/3≤y ⇔ x≤3y/2 e y vai de seu mínimo 0 até máximo 2, temos
0<= y<= 2,
0<= x<= 3y2

Passo 4

Troca da ordem de integração: A integral passa a ser
I=integraly=0^2integralx=0^3y2e^y^2,dx,dy

Passo 5

Cálculo da integral: Primeiro integramos em x, tratando y como constante:
integral0^3y2e^y^2,dx=e^y^2l[xr]0^3y2=3y2e^y^2
Logo
I=integral0^23y2e^y^2,dy
Fazendo a substituição u=y^{2}, du=2y,dy,
I=32cdot12integral0^4e^u,du=34l[e^ur]0^4=34(e^4-1)

Resposta

I=34(e^4-1)

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