Prove que se
é um campo gradiente em
, então quaisquer dois potenciais para
se diferenciam em uma constante.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um campo gradiente, então dois potenciais quaisquer de
só podem diferir por uma constante. O conteúdo aqui é cálculo vetorial (campos gradiente e potencial) e vamos usar o fato de que um função cujo gradiente é zero em um domínio conexo é constante.
Passo 2
Sejam
e
duas funções potenciais de
. Por definição de potencial temos
Passo 3
Definimos a diferença
Então o gradiente de
é
Isso significa que todas as derivadas parciais de
são zero.
Passo 4
Como
é um domínio conexo, uma função
de classe
com gradiente identicamente nulo só pode ser constante. Uma maneira informal de ver isso é observar que ao longo de qualquer caminho de um ponto
a
temos
logo
para todo
.
Resposta
Portanto, qualquer que seja o par de potenciais
e
de
, existe constante
tal que
ou seja, eles só diferem por uma constante.