Prove que se F(x1, ldots, xn) é um campo gradiente em R^n, então quaisquer dois potenciais para F se diferenciam em uma constante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se F:R^ntoR^n é um campo gradiente, então dois potenciais quaisquer de F só podem diferir por uma constante. O conteúdo aqui é cálculo vetorial (campos gradiente e potencial) e vamos usar o fato de que um função cujo gradiente é zero em um domínio conexo é constante.

Passo 2

Sejam g e h duas funções potenciais de F. Por definição de potencial temos
nabla g(x) = F(x), nabla h(x) = F(x)

Passo 3

Definimos a diferença
phi(x) = g(x) - h(x)
Então o gradiente de phi é
nabla phi(x) = nabla g(x) - nabla h(x) = F(x) - F(x) = 0
Isso significa que todas as derivadas parciais de phi são zero.

Passo 4

Como R^n é um domínio conexo, uma função phi de classe C^1 com gradiente identicamente nulo só pode ser constante. Uma maneira informal de ver isso é observar que ao longo de qualquer caminho de um ponto x0 a x temos
phi(x) - phi(x0) = integralcaminho nabla phi cdot ds = 0,
logo phi(x) = phi(x0) para todo x.

Resposta

Portanto, qualquer que seja o par de potenciais g e h de F, existe constante C=phi(x0) tal que
g(x) = h(x) + C,
ou seja, eles só diferem por uma constante.

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