Provar que
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente provar a identidade em cálculo vetorial
Isso é conteúdo de vetores, mais especificamente operadores diferenciais (gradiente e divergência). Para resolver, vamos precisar:
- Saber como se define
(divergência) e (gradiente) em coordenadas cartesianas. - Usar a regra do produto de derivadas (a tal “derivada de produto”).
Passo 2
Primeiro, lembrando das definições em coordenadas
:
- Se
é escalar, o gradiente é
- Seé vetor, a divergência é
Passo 3
Agora calcula diretamente
.
Por definição,
Por definição,
Em cada termo, aplicamos a regra do produto:
$$\frac{\partial}{\partial x}(\phi,A_x)
= \frac{\partial\phi}{\partial x},A_x + \phi,\frac{\partial A_x}{\partial x},$$
e o mesmo vale para e
.
e o mesmo vale para
Passo 4
Somando tudo, temos
Resposta
Logo, mostramos que
que é exatamente o que precisávamos provar.