Provar que nabla cdot(phi A)=nabla phi cdot A+phi nabla cdot A.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente provar a identidade em cálculo vetorial
nablacdot(phi, A)=nablaphicdot A+phi,nablacdot A,
Isso é conteúdo de vetores, mais especificamente operadores diferenciais (gradiente e divergência). Para resolver, vamos precisar:
  1. Saber como se define (divergência) e (gradiente) em coordenadas cartesianas.
  2. Usar a regra do produto de derivadas (a tal “derivada de produto”).

Passo 2

Primeiro, lembrando das definições em coordenadas nablaphi = (partialphipartial x,,partialphipartial y,,partialphipartial z):
  • Se nablacdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z é escalar, o gradiente é
    - Se é vetor, a divergência é

Passo 3

Agora calcula diretamente nablacdot(phi, A) = partialpartial xl(phi,Axr) + partialpartial yl(phi,Ayr) + partialpartial zl(phi,Azr).
Por definição,
partialpartial x(phi,Ax) = partialphipartial x,Ax + phi,partial Axpartial x,
Em cada termo, aplicamos a regra do produto:
$$\frac{\partial}{\partial x}(\phi,A_x)
= \frac{\partial\phi}{\partial x},A_x + \phi,\frac{\partial A_x}{\partial x},$$
e o mesmo vale para e .

Passo 4

Somando tudo, temos
nablacdot(phi, A) &= l(partialphipartial xAx + phi,partial Axpartial xr) + l(partialphipartial yAy + phi,partial Aypartial yr) &+ l(partialphipartial zAz + phi,partial Azpartial zr) &= underbracel(Axpartialphipartial x + Aypartialphipartial y + Azpartialphipartial zr)nablaphicdot A ;+;phiunderbracel(partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial zr)nablacdot A,

Resposta

Logo, mostramos que
nablacdot(phi, A) =nablaphicdot A + phi,nablacdot A,
que é exatamente o que precisávamos provar.

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