Provar que se
é uma probabilidade em uma
-álgebra
e todos conjuntos mencionados abaixo pertencem a
, então
Se
, então,
;
Se
Passo 1
O enunciado nos dá uma medida de probabilidade
numa
-álgebra
e uma sequência de conjuntos
tal que
-
para todo , -
.
Queremos provar queé crescente e que
Passo 2
Pela monotonicidade de
, de
segue
ou seja, a sequência
é não decrescente. Logo o limite
existe e, como
para todo
, temos
.
Passo 3
Definamos os conjuntos
Então os
são disjuntos e
Passo 4
Pela
-aditividade de
em conjuntos disjuntos,
Passo 5
Para cada
temos
logo, novamente por
-aditividade em famílias finitas disjuntas,
Passo 6
Como
, as somas parciais
formam uma sequência crescente que converge a
. Portanto,
Passo 7
Juntando tudo,
é não decrescente e seu limite é
.