Provar que se P é uma probabilidade em uma sigma-álgebra F e todos conjuntos mencionados abaixo pertencem a F, então
Se An uparrow A, então, P(An) uparrow P(A);

Passo 1

O enunciado nos dá uma medida de probabilidade P numa sigma-álgebra F e uma sequência de conjuntos (An)ninN tal que
  1. Ansubseteq An+1 para todo n,
  2. A=cupn=1^infty An.
    Queremos provar que P(An) é crescente e que
limntoinftyP(An)=P(A)

Passo 2

Pela monotonicidade de P, de Ansubseteq An+1 segue
P(An)<= P(An+1),
ou seja, a sequência l(P(An)r) é não decrescente. Logo o limite
L=limntoinftyP(An)=supnP(An)
existe e, como P(An)<= P(A) para todo n, temos L<= P(A).

Passo 3

Definamos os conjuntos
B1 = A1, Bn = Ansetminus An-1(n>=2)
Então os Bn são disjuntos e
cupn=1^infty Bn =cupn=1^infty An =A

Passo 4

Pela sigma-aditividade de P em conjuntos disjuntos,
P(A) =Pl(cupn=1^infty Bnr) =sumn=1^infty P(Bn)

Passo 5

Para cada k temos
cupn=1^k Bn = Ak,
logo, novamente por sigma-aditividade em famílias finitas disjuntas,
P(Ak) =sumn=1^k P(Bn)

Passo 6

Como P(Bn)>=0, as somas parciais sumn=1^kP(Bn) formam uma sequência crescente que converge a sumn=1^inftyP(Bn). Portanto,
limktoinftyP(Ak) =limktoinftysumn=1^kP(Bn) =sumn=1^inftyP(Bn) =P(A)

Passo 7

Juntando tudo, P(An) é não decrescente e seu limite é P(A).

Resposta

limntoinftyP(An)=P(A)

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