4 x^log 2 x=x^3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
4 cdot x^log2 x = x^3
O conteúdo envolvido são propriedades de logaritmos e exponenciais. A ideia é escrever tudo na base 2, transformar numa equação em uma única variável auxiliar e resolver.

Passo 2

Para usar logaritmos, precisamos de x>0. Definimos
t = log2 x,
o que implica
x = 2^t

Passo 3

Usamos a propriedade
x^log2 x = l(2^tr)^t = 2^t^2,
e também escrevemos x^3=(2^t)^3=2^3t. Substituindo na equação original:
4 cdot 2^t^2 = 2^3t
Como 4=2^2, isso vira
2^2 cdot 2^t^2 = 2^3t Longrightarrow 2^t^2+2 = 2^3t

Passo 4

Igualando expoentes de base 2, obtemos a equação quadrática em t:
t^2 + 2 = 3t Longrightarrow t^2 -3t +2 = 0 Longrightarrow (t-1)(t-2)=0
Logo as soluções são
t = 1 ou t = 2

Passo 5

Voltando a x pela relação x=2^t:
  • Se t=1, então x=2^1=2.
  • Se t=2, então x=2^2=4.
Ambas satisfazem a equação original.

Resposta

As soluções da equação são
x = 2 e x = 4

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