Provar que se P é uma probabilidade em uma sigma-álgebra F e todos conjuntos mencionados abaixo pertencem a F, então
Se An downarrow A, então, P(An) downarrow P(A);

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de continuidade de probabilidade de cima (ou “continuity from above”): sempre que (An)n>=1 é uma sequência decrescente de conjuntos em F (isto é, An+1subseteq An) e capn=1^infty An=A, então
P(An);downarrow;P(A)
Vamos usar teoria de medidas: concretamente, a definição de probabilidade é uma medida finita ( P(Omega)=1), a monotonicidade e a continuidade de baixo (para sequência crescente).

Passo 2

Como (An) é decrescente, seus complementos l(An^cr) formam uma sequência crescente, pois
An+1subseteq An Longrightarrow An^csubseteq An+1^c
Além disso
cupn=1^infty An^c =l(capn=1^infty Anr)^c =A^c
pela lei de De Morgan.

Passo 3

Pela continuidade de medida de baixo (que vale sem hipótese extra se a medida for finita em pelo menos um dos An^c; aqui P(Omega)=1<infty), temos
Pl(An^cr) ;uparrow; Pl(cupn=1^infty An^cr) =P(A^c)
Ou seja, limntoinftyP(An^c)=P(A^c).

Passo 4

Usamos agora a relação entre probabilidade de um conjunto e do seu complemento:
P(An^c) =1-P(An), P(A^c) =1-P(A)
Logo
limntoinftyl[1-P(An)r] =1-P(A),
isto é,
1-limntoinftyP(An) =1-P(A)
Portanto
limntoinftyP(An) =P(A)
Como P(An) é decrescente em n por monotonicidade, concluímos que
P(An);downarrow;P(A)

Resposta

Foi demonstrado que, para Andownarrow A,
P(An)downarrowP(A)

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