Provar que se
é uma probabilidade em uma
-álgebra
e todos conjuntos mencionados abaixo pertencem a
, então
Se
, então,
;
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar a propriedade de continuidade de probabilidade de cima (ou “continuity from above”): sempre que
é uma sequência decrescente de conjuntos em
(isto é,
) e
, então
Vamos usar teoria de medidas: concretamente, a definição de probabilidade é uma medida finita (
), a monotonicidade e a continuidade de baixo (para sequência crescente).
Passo 2
Como
é decrescente, seus complementos
formam uma sequência crescente, pois
Além disso
pela lei de De Morgan.
Passo 3
Pela continuidade de medida de baixo (que vale sem hipótese extra se a medida for finita em pelo menos um dos
; aqui
), temos
Ou seja,
.
Passo 4
Usamos agora a relação entre probabilidade de um conjunto e do seu complemento:
Logo
isto é,
Portanto
Como
é decrescente em
por monotonicidade, concluímos que
Resposta
Foi demonstrado que, para
,