Provar que se
é uma probabilidade em uma
-álgebra
e todos conjuntos mencionados abaixo pertencem a
, então
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma probabilidade
definida numa
-álgebra
, e queremos mostrar que, para quaisquer
, vale
Conteúdo: usamos a decomposição de
em duas partes disjuntas e a aditividade finita de
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
De fato, se
, então ou
ou
. No primeiro caso
; no segundo
. Portanto todo ponto de
pertence a uma das duas interseções, e recíproco é óbvio.
Passo 3
Verificamos que as partes são disjuntas:
Logo temos uma união disjunta de dois conjuntos em
.
Passo 4
Pela aditividade finita (que decorre da aditividade contável) de
, obtemos