Provar que se P é uma probabilidade em uma sigma-álgebra F e todos conjuntos mencionados abaixo pertencem a F, então
P(B)=P(B cap A)+P(B cap A^c) ;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma probabilidade P definida numa sigma-álgebra F, e queremos mostrar que, para quaisquer A,BinF, vale
P(B) = P(Bcap A) + Pl(Bcap A^cr)
Conteúdo: usamos a decomposição de B em duas partes disjuntas e a aditividade finita de P.

Passo 2

Mostramos primeiro que
B = l(Bcap Ar);cup;l(Bcap A^cr)
De fato, se xin B, então ou xin A ou xin A^c. No primeiro caso xin Bcap A; no segundo xin Bcap A^c. Portanto todo ponto de B pertence a uma das duas interseções, e recíproco é óbvio.

Passo 3

Verificamos que as partes são disjuntas:
l(Bcap Ar);cap;l(Bcap A^cr) = Bcapl(Acap A^cr) = Bcapvarnothing = varnothing
Logo temos uma união disjunta de dois conjuntos em F.

Passo 4

Pela aditividade finita (que decorre da aditividade contável) de P, obtemos
P(B) = Pl((Bcap A);cup;(Bcap A^c)r) = P(Bcap A) + P(Bcap A^c)

Resposta

boxedP(B) = P(Bcap A) + P(Bcap A^c)

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