Provar que se P é uma probabilidade em uma sigma-álgebra F e todos conjuntos mencionados abaixo pertencem a F, então
P(A cup B)=P(A)+P(B)-P(A cap B)

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula da inclusão–exclusão para dois eventos
P(Acup B) =P(A)+P(B)-P(Acap B),
sabendo que P é uma medida de probabilidade em uma sigma-álgebra F.
Conteúdo necessário:
– Propriedade de aditividade finita de P para conjuntos disjuntos.
– Fatos de teoria de conjuntos: decomposição de Acup B em partes disjuntas e expressões de A e B via essa decomposição.

Passo 2

Observe a partição em três conjuntos disjuntos:
Acup B =(Asetminus B);dotcup;(Bsetminus A);dotcup;(Acap B)
De fato, qualquer xin Acup B ou está em A mas não em B, ou em B mas não em A, ou em ambos. Todos esses conjuntos pertencem a F porque F é uma sigma-álgebra (fechada para diferença e interseção).

Passo 3

Aplicando a aditividade de P a essa união de três conjuntos disjuntos, obtemos
P(Acup B) =P(Asetminus B) +P(Bsetminus A) +P(Acap B)

Passo 4

Agora escrevemos P(A) e P(B) em função dessas mesmas peças disjuntas:
A=(Asetminus B)dotcup (Acap B) Longrightarrow P(A) =P(Asetminus B)+P(Acap B),
B=(Bsetminus A)dotcup (Acap B) Longrightarrow P(B) =P(Bsetminus A)+P(Acap B)

Passo 5

Some P(A) e P(B):
P(A)+P(B) =l[P(Asetminus B)+P(Acap B)r] +l[P(Bsetminus A)+P(Acap B)r]
P(A)+P(B) =P(Asetminus B)+P(Bsetminus A)+2,P(Acap B)
Desse modo,
P(A)+P(B)-P(Acap B) =P(Asetminus B)+P(Bsetminus A)+P(Acap B)

Passo 6

Comparando com o resultado do Passo 3, vemos que
P(Acup B) =P(Asetminus B)+P(Bsetminus A)+P(Acap B) =P(A)+P(B)-P(Acap B)

Resposta

P(Acup B) =P(A)+P(B)-P(Acap B)

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