Provar que se
é uma probabilidade em uma
-álgebra
e todos conjuntos mencionados abaixo pertencem a
, então
Passo 1
O enunciado pede para provar a fórmula da inclusão–exclusão para dois eventos
sabendo que
é uma medida de probabilidade em uma
-álgebra
.
Conteúdo necessário:
– Propriedade de aditividade finita de para conjuntos disjuntos.
– Fatos de teoria de conjuntos: decomposição de em partes disjuntas e expressões de
e
via essa decomposição.
Conteúdo necessário:
– Propriedade de aditividade finita de
– Fatos de teoria de conjuntos: decomposição de
Passo 2
Observe a partição em três conjuntos disjuntos:
De fato, qualquer
ou está em
mas não em
, ou em
mas não em
, ou em ambos. Todos esses conjuntos pertencem a
porque
é uma
-álgebra (fechada para diferença e interseção).
Passo 3
Aplicando a aditividade de
a essa união de três conjuntos disjuntos, obtemos
Passo 4
Agora escrevemos
e
em função dessas mesmas peças disjuntas:
Passo 5
Some
e
:
Desse modo,
Passo 6
Comparando com o resultado do Passo 3, vemos que