Seja
uma probabilidade em uma
-álgebra
e
. Mostre que se
, em que
e
, então
Passo 1
O enunciado diz que temos uma probabilidade
em uma
-álgebra
e eventos
tais que
com
. Queremos mostrar que
Para isso, vamos usar duas propriedades básicas de probabilidades: a fórmula do complemento
e a desigualdade da união (subaditividade)
Passo 2
Observe que
Ou seja, o complemento da interseção é a união dos complementos.
Passo 3
Pelo teorema da subaditividade, para os eventos
temos
Passo 4
Como
, então
Logo
Assim
Passo 5
Finalmente, usando o complemento novamente,