Seja P uma probabilidade em uma sigma-álgebra F e A1, A2, cdots, An in F. Mostre que se P(Ai) >= 1-epsilon, em que 0<epsilon<1 e i=1,2, cdots, n, então
P(capi=1^n A) >= 1-n epsilon

Passo 1

O enunciado diz que temos uma probabilidade P em uma sigma-álgebra F e eventos A1,A2,dots,An tais que
P(Ai)>=1-epsilon,
com 0<epsilon<1. Queremos mostrar que
Pl(capi=1^nAir)>=1-nepsilon
Para isso, vamos usar duas propriedades básicas de probabilidades: a fórmula do complemento
P(E^c)=1-P(E)
e a desigualdade da união (subaditividade)
Pl(cupi=1^n Bir)<=sumi=1^nP(Bi)

Passo 2

Observe que
capi=1^nAi = l(cupi=1^nAi^cr)^c
Ou seja, o complemento da interseção é a união dos complementos.

Passo 3

Pelo teorema da subaditividade, para os eventos Ai^c temos
Pl(cupi=1^nAi^cr) <=sumi=1^nP(Ai^c)

Passo 4

Como P(Ai)>=1-epsilon, então
P(Ai^c) =1-P(Ai) <=1-(1-epsilon) =epsilon
Logo
sumi=1^nP(Ai^c)<=sumi=1^nepsilon =nepsilon
Assim
Pl(cupi=1^nAi^cr)<= nepsilon

Passo 5

Finalmente, usando o complemento novamente,
Pl(capi=1^nAir) =1-Pl(cupi=1^nAi^cr) >=1-nepsilon

Resposta

Pl(capi=1^nAir)>=1-nepsilon

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