Provar que os pontos A=(1,1), B=(1,-3) e C=(5,1) são vértices de um triângulo retângulo.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no plano: A=(1,1), B=(1,-3) e C=(5,1). Queremos mostrar que o triângulo ABC é retângulo, ou seja, que há um ângulo de 90^circ. Para isso, vamos usar geometria analítica: representamos dois lados por vetores e verificamos se eles são perpendiculares através do produto escalar.

Passo 2

Calculamos os vetores que saem de A em direção a B e a C:
AB = B - A = (1,-3) - (1,1) = (0,-4),
AC = C - A = (5,1) - (1,1) = (4,0)

Passo 3

O produto escalar entre AB e AC é
ABcdotAC = (0)cdot(4) + (-4)cdot(0) = 0
Como o produto escalar é zero, esses vetores são ortogonais, ou seja, formam um ângulo de 90^circ em A. Portanto, o ângulo ang<= BAC é reto.

Resposta

Os pontos A, B e C formam um triângulo retângulo em A, pois ABcdotAC=0.

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