Sejam A, B e C pontos quaisquer, com A \neq B. Prove que:
a) X pertence à reta A B se, e somente se, existem \alpha e \beta tais que \overrightarrow{C X}= \alpha \overrightarrow{C A}+\beta \overrightarrow{C B} е \alpha+\beta=1 ;
b) X pertence ao segmento A B se, e somente se, existem \alpha e \beta tais que \overrightarrow{C X}=\alpha \overrightarrow{C A}+\beta \overrightarrow{C B} e \alpha \geq 0, \beta \geq 0 e \alpha+\beta=1 ;
c) X é interior ao segmento A B (isto é, existe \lambda tal que 0<\lambda<1 e \overrightarrow{A X}=\lambda \overrightarrow{A B} ) se, e somente se, \overrightarrow{X A} e \overrightarrow{X B} são de sentido contrário.

Passo 1

O enunciado dá três pontos quaisquer A,B,C com A\neq B e pede para provar três equivalências sobre a posição de um ponto X em relação à reta e ao segmento AB e uma condição de interioridade. As perguntas são:
a) Mostrar que X pertence à reta AB se, e somente se, existem \alpha e \beta tais que
\overrightarrow{C X}= \alpha \overrightarrow{C A}+\beta \overrightarrow{C B} \qquad\text{e}\qquad \alpha+\beta=1.
b) Mostrar que X pertence ao segmento AB se, e somente se, existem \alpha e \beta tais que
\overrightarrow{C X}=\alpha \overrightarrow{C A}+\beta \overrightarrow{C B} \qquad\text{com}\qquad \alpha\ge 0,\\ \beta\ge 0,\\ \alpha+\beta=1.
c) Mostrar que X é interior ao segmento AB (isto é, existe \lambda tal que 0<\lambda<1 e \overrightarrow{A X}=\lambda \overrightarrow{A B}) se, e somente se, \overrightarrow{X A} e \overrightarrow{X B} são de sentido contrário.
Informações relevantes dadas: os pontos A,B,C são arbitrários com A\neq B; as afirmações envolvem vetores do tipo \overrightarrow{CU}, relações afins (coeficientes somando 1) e desigualdades sobre coeficientes ( \ge 0).

Passo 2

Preparação — fatos vetoriais e notação (mini-aula essencial, para usar sem pensar nas contas):
  • Para quaisquer pontos P,Q definimos \overrightarrow{PQ}= \text{vetor do ponto }P\text{ para }Q.
  • A soma de vetores corresponde a caminhar em sequência: \overrightarrow{C X}=\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A X}. Isto é um fato básico de vetores: ir de C a X é ir de C a A e depois de A a X.
  • Relação entre vetores ligados aos três pontos A,B,C:
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C A}.
Explicação: \overrightarrow{AB}=(B-A)=(B-C)-(A-C)=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}.
  • Interpretarei expressões como \alpha\overrightarrow{CA}+\beta\overrightarrow{CB} como combinações lineares (ou combinações afins se \alpha+\beta=1). Quando os coeficientes somam 1 estamos escrevendo um ponto X como combinação afim de A e B vista desde C.

Passo 3

Prova de (a) — direção "se X está na reta AB então existem \alpha,\beta com \alpha+\beta=1 e \overrightarrow{C X}=\alpha\overrightarrow{C A}+\beta\overrightarrow{C B}".
Suponha que X pertence à reta AB. Então X é colinear com A e B, logo existe um escalar \lambda\in\mathbb{R} tal que
\overrightarrow{A X}=\lambda\overrightarrow{A B}.
Usando \overrightarrow{C X}=\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A X} e a identidade \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C A} (Passo 2) obtemos:
\overrightarrow{C X}=\overrightarrow{C A}+\lambda\overrightarrow{A B} =\overrightarrow{C A}+\lambda\big(\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C A}\big).
Regroupando termos:
\overrightarrow{C X}=(1-\lambda)\overrightarrow{C A}+\lambda\overrightarrow{C B}.
Então basta definir \alpha=1-\lambda e \beta=\lambda. Esses \alpha,\beta satisfazem \alpha+\beta=1 e efetuam a representação pedida:
\overrightarrow{C X}=\alpha\overrightarrow{C A}+\beta\overrightarrow{C B},\qquad \alpha+\beta=1.
Comentário intuitivo: \lambda é o parâmetro que desloca X ao longo da reta AB; reescrevendo em termos das posições relativas a C obtemos uma combinação afim de \overrightarrow{CA} e \overrightarrow{CB}.

Passo 4

Prova de (a) — direção contrária "se existem \alpha,\beta com \alpha+\beta=1 e \overrightarrow{C X}=\alpha\overrightarrow{C A}+\beta\overrightarrow{C B} então X pertence à reta AB".
Partimos da hipótese
\overrightarrow{C X}=\alpha\overrightarrow{C A}+\beta\overrightarrow{C B} \qquad\text{com}\qquad \alpha+\beta=1.
Escreva \alpha=1-\beta e substitua:
\overrightarrow{C X}=(1-\beta)\overrightarrow{C A}+\beta\overrightarrow{C B} =\overrightarrow{C A}+\beta\big(\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C A}\big).
Usando \overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{A B} e \overrightarrow{C X}=\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A X}, obtemos
\overrightarrow{A X}=\beta\overrightarrow{A B}.
Isto mostra que \overrightarrow{A X} é múltiplo escalar de \overrightarrow{A B}, logo A,X,B são colineares e X pertence à reta AB. Assim a equivalência em (a) está provada.

Passo 5

Observação útil (ligação entre (a) e (b)) — interpretação dos parâmetros:
  • No passo anterior vimos que a relação entre os coeficientes \alpha,\beta e o parâmetro \lambda usado para parametrizar a reta é \beta=\lambda e \alpha=1-\lambda, quando escrevemos \overrightarrow{A X}=\lambda\overrightarrow{A B}.
  • Portanto, restrições do tipo 0\le \lambda\le 1 transformam-se em 0\le\beta\le 1 e 0\le\alpha\le 1 com \alpha+\beta=1. Essa observação é a chave para (b).

Passo 6

Prova de (b) — direção "se X pertence ao segmento AB então existem \alpha,\beta\ge 0 com \alpha+\beta=1 tal que \overrightarrow{C X}=\alpha\overrightarrow{C A}+\beta\overrightarrow{C B}".
Por definição, X pertence ao segmento AB quando X está na reta AB e está entre A e B. Pela parametrização da reta (Passo 3) existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \overrightarrow{A X}=\lambda\overrightarrow{A B}; o fato de X estar no segmento implica 0\le\lambda\le 1. Usando os cálculos do Passo 3, obtemos
\overrightarrow{C X}=(1-\lambda)\overrightarrow{C A}+\lambda\overrightarrow{C B}.
Definindo \alpha=1-\lambda e \beta=\lambda chegamos a \alpha\ge 0,\\ \beta\ge 0,\\ \alpha+\beta=1 e à representação desejada.

Passo 7

Prova de (b) — direção contrária "se existem \alpha,\beta\ge 0 com \alpha+\beta=1 e \overrightarrow{C X}=\alpha\overrightarrow{C A}+\beta\overrightarrow{C B} então X pertence ao segmento AB".
Partimos da hipótese e, como em (a) Passo 4, obtemos \overrightarrow{A X}=\beta\overrightarrow{A B}. Da hipótese \beta\ge 0. Além disso \alpha+\beta=1 com \alpha\ge 0 implica \beta\le 1. Assim 0\le\beta\le 1. Logo existe \lambda=\beta com 0\le\lambda\le 1 tal que \overrightarrow{A X}=\lambda\overrightarrow{A B}, isto é exatamente a parametrização de pontos do segmento AB. Portanto X está no segmento AB. Assim (b) está totalmente provada.

Passo 8

Prova de (c) — direção “se X é interior ao segmento AB então \overrightarrow{X A} e \overrightarrow{X B} são de sentido contrário”.
Se X é interior ao segmento AB então existe \lambda com 0<\lambda<1 tal que
\overrightarrow{A X}=\lambda\overrightarrow{A B}.
Calcule \overrightarrow{X A}=-\overrightarrow{A X}=-\lambda\overrightarrow{A B} e \overrightarrow{X B}=\overrightarrow{X A}+\overrightarrow{A B}=(-\lambda\overrightarrow{A B})+\overrightarrow{A B}=(1-\lambda)\overrightarrow{A B}.
Logo
\overrightarrow{X A}=-\frac{\lambda}{1-\lambda}\,\overrightarrow{X B}.
Note que \frac{\lambda}{1-\lambda}>0 porque 0<\lambda<1. Assim \overrightarrow{X A} é um múltiplo negativo de \overrightarrow{X B}, ou seja, \overrightarrow{X A} e \overrightarrow{X B} são colineares e têm sentidos opostos. Isso prova a direção solicitada.

Passo 9

Prova de (c) — direção contrária "se \overrightarrow{X A} e \overrightarrow{X B} são de sentido contrário então X é interior ao segmento AB".
A hipótese significa que existem t>0 tal que
\overrightarrow{X A}=-t\,\overrightarrow{X B}.
Escreva \overrightarrow{X B}=\overrightarrow{X A}+\overrightarrow{A B} (somar \overrightarrow{X A} a \overrightarrow{A B} \overrightarrow{X B}). Substituindo \overrightarrow{X A}=-t\overrightarrow{X B} nessa expressão dá
\overrightarrow{X B}= -t\overrightarrow{X B} + \overrightarrow{A B}.
Rearranjando,
(1+t)\overrightarrow{X B}=\overrightarrow{A B}.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{t}{1+t} (note t>0 então \dfrac{t}{1+t}\in(0,1)) obtemos
\overrightarrow{A X}=\frac{t}{1+t}\,\overrightarrow{A B}.
Defina \lambda=\dfrac{t}{1+t}. Como t>0 temos 0<\lambda<1. Assim \overrightarrow{A X}=\lambda\overrightarrow{A B} com 0<\lambda<1, o que mostra que X é interior ao segmento AB. Isso prova a direção contrária e completa a equivalência em (c).

Resposta

a) Verdadeiro: X\in AB sse existem \alpha,\beta tais que \displaystyle \overrightarrow{C X}= \alpha \overrightarrow{C A}+\beta \overrightarrow{C B} e \alpha+\beta=1.
b) Verdadeiro: X\in [A B] sse existem \alpha,\beta tais que \displaystyle \overrightarrow{C X}=\alpha \overrightarrow{C A}+\beta \overrightarrow{C B}, com \alpha\ge 0,\\ \beta\ge 0 e \alpha+\beta=1.
c) Verdadeiro: X é interior ao segmento A B sse \overrightarrow{X A} e \overrightarrow{X B} são de sentido contrário.

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