Seja H o conjunto dos pontos no interior e na fronteira do círculo unitário no plano x y. Em símbolos, H=[lx y]: x^2+y^2 <= 1. Determine um exemplo específico - dois vetores ou um vetor e um escalar para mostrar que H não é um subespaço de R^2.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o conjunto , que é formado por todos os pontos dentro ou na fronteira do círculo unitário no plano , não é um subespaço de . Aqui, estamos lidando com conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais.
Para resolver isso, precisamos entender o que é um subespaço e quais são os critérios que ele deve cumprir. Vamos usar dois vetores específicos para demonstrar que não satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de é um subespaço se:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se você pegar dois vetores qualquer em , a soma deles também está em (fechado sob adição).
  3. Se você multiplicar qualquer vetor em por um escalar, o resultado também está em (fechado sob multiplicação por escalar).
Então, para mostrar que não é um subespaço, basta encontrarmos um exemplo que viole uma dessas condições.

Passo 3

Vamos escolher dois vetores específicos no conjunto v = 1 0 e w = 1 0 . Por exemplo:
x^2 + y^2 = 1^2 + 0^2 = 1 <= 1
Ambos os vetores estão em porque:

Passo 4

Agora, vamos somar esses dois vetores:
v + w = 1 0 + 1 0 = 2 0
Vamos verificar se esse vetor resultante está em x^2 + y^2 = 2^2 + 0^2 = 4 <= 1 :
2 0
Claramente, não é menor ou igual a , então não está em .

Passo 5

Como encontramos dois vetores em cuja soma não pertence a , isso significa que não está fechado sob adição. Portanto, não satisfaz os critérios para ser um subespaço de .

Resposta

Portanto, o conjunto 1 0 não é um subespaço de 1 0 porque não é fechado sob adição, como demonstrado com os vetores e .

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