Provar que os vetores
e
são linearmente independentes e escrever o vetor
como combinação linear dos vetores
e
.
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço
com os vetores
,
e
.
Precisamos:
Precisamos:
- Mostrar que
e são linearmente independentes, usando a definição de independência linear. - Encontrar escalares
e tais que
Passo 2
Para provar que
Isso gera o sistema em coordenadas:
Fazemos eliminação: multiplicando a segunda equação por (
), obtemos
Mas podemos também ver diretamente que, ao resolver o sistema original por eliminação padrão, chegamos a
Logo a única solução é trivial, o que prova que
e
são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, queremos
x e
y tais que
Em coordenadas, isso dá o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema do passo anterior: da segunda equação
Substituindo na primeira:
Então
Portanto
Resposta
Os vetores
a e
b são linearmente independentes.
Além disso,
Além disso,