Provar que os vetores a=(4,3) e b=(5,2) são linearmente independentes e escrever o vetor u=(1,-1) como combinação linear dos vetores a e b.

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço R^2 com os vetores
a=(4,3), b=(5,2) e u=(1,-1).
Precisamos:
  1. Mostrar que a e b são linearmente independentes, usando a definição de independência linear.
  2. Encontrar escalares x e y tais que
u = x,a + y,b

Passo 2

Para provar que
Isso gera o sistema em coordenadas:
Fazemos eliminação: multiplicando a segunda equação por ( ), obtemos
Mas podemos também ver diretamente que, ao resolver o sistema original por eliminação padrão, chegamos a
Logo a única solução é trivial, o que prova que e são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, queremos x e y tais que
x,(4,3) + y,(5,2) = (1,-1)
Em coordenadas, isso dá o sistema
4x + 5y = 1, 3x + 2y = -1

Passo 4

Resolvendo o sistema do passo anterior: da segunda equação
3x + 2y = -1 Longrightarrow x = -1 - 2y3
Substituindo na primeira:
4l(-1 - 2y3r) + 5y = 1 Longrightarrow -4 - 8y3 + 5y = 1 Longrightarrow -4 - 8y + 15y = 3 Longrightarrow 7y = 7 Longrightarrow y = 1
Então
x = -1 - 2cdot 13 = -33 = -1
Portanto
u = x,a + y,b = -1cdota + 1cdotb = -a + b

Resposta

Os vetores a e b são linearmente independentes.
Além disso,
u = -a + b

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