Considere os seguintes subespaços de :
Determine as dimensões de:
Passo 1
O enunciado define o subespaço gerado pelos vetores e . O objetivo é encontrar . Para isso precisamos verificar se esses geradores são linearmente independentes, pois a dimensão de um subespaço gerado por um conjunto é o número de vetores numa base, ou seja, o número de vetores linearmente independentes nesse conjunto.
Passo 2
Denotemos
Queremos testar se existe não triviais tais que
Passo 3
Escrevendo componente a componente,
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem alpha = beta. Substituindo na primeira dá alpha + 2alpha = 0Rightarrow3alpha=0Rightarrowalpha=0, logo beta=0. Portanto, só existe a combinação trivial.
Passo 4
Como v1 e v2 são linearmente independentes e geram S, eles formam uma base de S. Assim,