Considere os seguintes subespaços de R^3:
S=[(1,-1,2),(2,1,1)]
T=[(0,1,-1),(1,2,1)]
U=(x, y, z) / x+y=4 x-z=0
V=(x, y, z) / 3 x-y-z=0
Determine as dimensões de:
S

Passo 1

O enunciado define o subespaço SsubsetR^3 gerado pelos vetores (1,-1,2) e (2,1,1). O objetivo é encontrar dim S. Para isso precisamos verificar se esses geradores são linearmente independentes, pois a dimensão de um subespaço gerado por um conjunto é o número de vetores numa base, ou seja, o número de vetores linearmente independentes nesse conjunto.

Passo 2

Denotemos
v1 = (1,-1,2), v2 = (2,1,1)
Queremos testar se existe alpha,betainR não triviais tais que
alpha,v1 + beta,v2 = (0,0,0)

Passo 3

Escrevendo componente a componente,
alphacdot1 + betacdot2 = 0, alphacdot(-1) + betacdot1 = 0, alphacdot2 + betacdot1 = 0
Isso gera o sistema
alpha + 2beta = 0, -,alpha + beta = 0, 2alpha + beta = 0
Da segunda equação vem alpha = beta. Substituindo na primeira dá alpha + 2alpha = 0Rightarrow3alpha=0Rightarrowalpha=0, logo beta=0. Portanto, só existe a combinação trivial.

Passo 4

Como v1 e v2 são linearmente independentes e geram S, eles formam uma base de S. Assim,
dim S = 2

Resposta

dim S = 2

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