Sejam S1=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3 in P3(R) mid a1+a2+a3=0 e S2=[-2 x^3+5 x^2+5 x+5, x^2+x+1, x^3] dois subespaços de P3(R).
(1,0) Determine uma base para S1.

Passo 1

O enunciado define
S1=l,a0+a1x+a2x^2+a3x^3inP3(R) mid a1+a2+a3=0r.
Precisamos achar uma base de S1. O conteúdo aqui é espaços de polinômios de grau até 3 e subespaços definidos por uma condição linear nos coeficientes.

Passo 2

A condição a1+a2+a3=0 é uma única restrição linear em quatro coeficientes a0,a1,a2,a3, logo dim S1=4-1=3. Vamos parametrizar os coeficientes livres.

Passo 3

Da condição a1+a2+a3=0 obtemos
a1=-,a2-a3
Logo um polinômio genérico de S1 é
p(x) =a0+(-a2-a3),x + a2,x^2+a3,x^3 =a0cdot1 + a2,(x^2-x)+a3,(x^3-x)
Os parâmetros livres são a0,a2,a3.

Passo 4

Os polinômios que acompanham cada parâmetro livre formam um sistema gerador e, sendo independentes, formam uma base. Portanto, uma base de S1 é
l,1,;x^2-x,;x^3-x,r

Resposta

,1,;x^2-x,;x^3-x

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