Prove que:
10^{200}-1 é divisível por 11 .

Passo 1

O enunciado pede para provar que o número 10^{200}-1 é divisível por 11.
Informações dadas explicitamente:
  • Temos a potência 10^{200}.
  • Subtrai-se 1.
  • Queremos verificar se 11 divide esse resultado, isto é, se existe um inteiro k tal que 10^{200}-1=11k.

Passo 2

Vou lembrar o conceito de divisão e congruência de forma bem simples: dizer que " a é divisível por m " significa que existe um inteiro q com a=mq. Em linguagem de restos usamos congruência módulo m: escrevemos
a \equiv b \pmod{m}
quando m divide a-b. Em particular, mostrar que a é divisível por m é o mesmo que mostrar a\equiv 0\pmod{m}.

Passo 3

Uma observação fácil: 10 e 11 têm relação simples de resto porque
10 = 11 - 1,
logo
10 \equiv -1 \pmod{11}.
Isto quer dizer que, ao dividir 10 por 11, o resto é -1 (equivalente a 10 como resto positivo), e escreve-se compactamente como acima.

Passo 4

Agora uso uma propriedade básica de congruências: se a\equiv b\pmod{m} então, para qualquer inteiro n\ge 1,
a^{n} \equiv b^{n} \pmod{m}.
Esta propriedade vem do fato de que multiplicar congruências preserva a congruência (pode-se provar por indução). Aplicando com a=10, b=-1, m=11 e n=200, obtenho
10^{200} \equiv (-1)^{200} \pmod{11}.

Passo 5

Calculo a potência do lado direito: como 200 é um número par,
(-1)^{200}=1.
Portanto da congruência do passo anterior segue
10^{200} \equiv 1 \pmod{11}.

Passo 6

Subtraindo 1 dos dois lados da congruência obtém-se
10^{200}-1 \equiv 0 \pmod{11}.
Isto significa exatamente que 11 divide 10^{200}-1. Se quiser um exemplo pequeno para intuir isso: 10^{2}-1=99 e 99 é divisível por 11 (porque 99=11\cdot9); o raciocínio acima é a versão geral para o expoente 200.

Resposta

10^{200}-1 é divisível por 11.

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