Prove que:
é divisível por 11 .
Passo 1
O enunciado pede para provar que o número
é divisível por
.
Informações dadas explicitamente:
Informações dadas explicitamente:
- Temos a potência
. - Subtrai-se
. - Queremos verificar se
divide esse resultado, isto é, se existe um inteiro tal que .
Passo 2
Vou lembrar o conceito de divisão e congruência de forma bem simples: dizer que "
é divisível por
" significa que existe um inteiro
com
. Em linguagem de restos usamos congruência módulo
: escrevemos
quando
divide
. Em particular, mostrar que
é divisível por
é o mesmo que mostrar
.
Passo 3
Uma observação fácil:
e
têm relação simples de resto porque
logo
Isto quer dizer que, ao dividir
por
, o resto é
(equivalente a
como resto positivo), e escreve-se compactamente como acima.
Passo 4
Agora uso uma propriedade básica de congruências: se
então, para qualquer inteiro
,
Esta propriedade vem do fato de que multiplicar congruências preserva a congruência (pode-se provar por indução). Aplicando com
,
,
e
, obtenho
Passo 5
Calculo a potência do lado direito: como
é um número par,
Portanto da congruência do passo anterior segue
Passo 6
Subtraindo
dos dois lados da congruência obtém-se
Isto significa exatamente que
divide
. Se quiser um exemplo pequeno para intuir isso:
e
é divisível por
(porque
); o raciocínio acima é a versão geral para o expoente
.