Prove que 11^10 equiv 1(bmod 100).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
11^10equiv1pmod100
Aqui o conteúdo principal é usar congruências modulares em potências e o Teorema Chinês dos Resíduos. Para isso vamos fatorar 100=4cdot25 e calcular 11^10 tanto módulo 4 quanto módulo 25, depois juntar com o CRT.

Passo 2

Verificamos que gcd(11,100)=1, logo podemos trabalhar separadamente em módulo 4 e em módulo 25 e depois aplicar o Teorema Chinês dos Resíduos.

Passo 3

Cálculo módulo 4:
11equiv3pmod4,
então
11^2equiv3^2=9equiv1pmod4
Assim
11^10=(11^2)^5equiv1^5=1pmod4

Passo 4

Cálculo módulo 25:
11^2=121equiv21pmod25,
11^4=(11^2)^2equiv21^2=441equiv16pmod25,
11^5=11^4cdot11equiv16cdot11=176equiv1pmod25
Logo
11^10=(11^5)^2equiv1^2=1pmod25

Passo 5

Pelo Teorema Chinês dos Resíduos, a única solução para
xequiv1pmod4 e xequiv1pmod25
é
xequiv1pmod100
Como x=11^10 satisfaz ambas, conclui-se que
11^10equiv1pmod100

Resposta

11^10equiv1pmod100

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