Verifique que 97 mid(2^48-1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 97 divide 2^48-1, isto é, queremos verificar que
2^48equiv1pmod97
O conteúdo envolvido é aritmética modular, especialmente o Teorema de Fermat e cálculo de potências por exponenciação modular.

Passo 2

Pelo Teorema de Fermat, como 97 é primo e 2 não é múltiplo de 97, temos
2^96equiv1pmod97
Isso nos diz que a ordem de 2 no grupo multiplicativo mod 97 divide 96.

Passo 3

Para calcular 2^48bmod97 de forma eficaz, usamos exponenciação rápida:
2^4=16, 2^8=(2^4)^2=16^2=256equiv256-2cdot97=62pmod97
2^16=(2^8)^2=62^2=3844equiv3844-39cdot97=61pmod97
2^32=(2^16)^2=61^2=3721equiv3721-38cdot97=35pmod97
2^48=2^32cdot2^16equiv35cdot61=2135equiv2135-22cdot97=1pmod97

Passo 4

Encontramos que
2^48equiv1pmod97,
logo 97 divide 2^48-1.

Resposta

Portanto, 97midl(2^48-1r).

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