1. Prove que 15 divide 2^{4 n}-1 para todo n \geq 1.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, para todo n\geq 1, o número 2^{4n}-1 é múltiplo de 15; em notação de divisibilidade, provar que
15 \mid \bigl(2^{4n}-1\bigr)\quad\text{para todo }n\geq 1.
Informações dadas: n é inteiro e n\geq 1. Não há outras hipóteses.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicados devagar):
  • Dizemos que um inteiro a divide outro inteiro b e escrevemos a\mid b quando existe um inteiro k tal que b = a\cdot k. Por exemplo, 5\mid 20 porque 20=5\cdot 4.
  • Congruência modular: para um inteiro m>0, escrevemos x\equiv y\pmod m quando m divide x-y. Ou seja, x\equiv y\pmod m equivale a m\mid(x-y).
  • Propriedade importante (que usaremos): se x\equiv y\pmod m então, para qualquer inteiro r\ge 1,
x^r \equiv y^r \pmod m.
Isto decorre da propriedade multiplicativa das congruências: se x\equiv y e u\equiv v (mod m), então xu\equiv yv (mod m). Aplicando isso repetidamente obtemos a propriedade das potências. Em palavras: podemos elevar lados congruentes à mesma potência e a congruência continua valendo.

Passo 3

Calculemos uma potência pequena de 2 que nos ajuda:
2^4 = 16.
Observe que 16-1=15. Logo
16\equiv 1 \pmod{15},
ou seja,
2^4 \equiv 1 \pmod{15}.
Esse é o ponto chave: uma potência fixa de 2 é congruente a 1 módulo 15.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade das potências da congruência explicada no Passo 2. Elevando ambos os lados da congruência 2^4\equiv 1\pmod{15} à potência n (com n\ge 1) obtemos
(2^4)^n \equiv 1^n \pmod{15}.
Como (2^4)^n = 2^{4n} e 1^n = 1, isso dá
2^{4n} \equiv 1 \pmod{15}.

Passo 5

A congruência 2^{4n}\equiv 1\pmod{15} significa, por definição de congruência, que 15 divide a diferença 2^{4n}-1. Em símbolos:
15 \mid \bigl(2^{4n}-1\bigr).
Portanto 2^{4n}-1 é múltiplo de 15 para todo n\ge 1.

Passo 6

Para fixar a ideia, veja dois exemplos numéricos rápidos:
  • Para n=1: 2^{4\cdot 1}-1 = 2^4-1 = 16-1 = 15, claramente múltiplo de 15.
  • Para n=2: 2^{8}-1 = 256-1 = 255, e 255/15=17, logo também múltiplo de 15.

Resposta

15\mid\bigl(2^{4n}-1\bigr) para todo n\geq 1.

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