- Prove que 15 divide
para todo
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, para todo
, o número
é múltiplo de
; em notação de divisibilidade, provar que
Informações dadas:
é inteiro e
. Não há outras hipóteses.
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicados devagar):
- Dizemos que um inteiro
divide outro inteiro e escrevemos quando existe um inteiro tal que . Por exemplo, porque . - Congruência modular: para um inteiro
, escrevemos quando divide . Ou seja, equivale a . - Propriedade importante (que usaremos): se
então, para qualquer inteiro ,
Isto decorre da propriedade multiplicativa das congruências: se
e
(mod
), então
(mod
). Aplicando isso repetidamente obtemos a propriedade das potências. Em palavras: podemos elevar lados congruentes à mesma potência e a congruência continua valendo.
Passo 3
Calculemos uma potência pequena de
que nos ajuda:
Observe que
. Logo
ou seja,
Esse é o ponto chave: uma potência fixa de
é congruente a
módulo
.
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade das potências da congruência explicada no Passo 2. Elevando ambos os lados da congruência
à potência
(com
) obtemos
Como
e
, isso dá
Passo 5
A congruência
significa, por definição de congruência, que
divide a diferença
. Em símbolos:
Portanto
é múltiplo de
para todo
.
Passo 6
Para fixar a ideia, veja dois exemplos numéricos rápidos:
- Para
: , claramente múltiplo de . - Para
: , e , logo também múltiplo de .