Seja
um número formado por
uns com
. Prove que
divide
.
Passo 1
O enunciado dá um número
formado por
algarismos iguais a
, com
, e pede para provar que
divide
.\n
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
O objetivo é mostrar que
Passo 2
Vamos primeiro escrever o número formado por
algarismos
(no sistema decimal) usando uma fórmula fechada. Se
é um inteiro positivo, o número com
uns é
Esse número pode ser visto como a soma
que é uma progressão geométrica de razão
e
termos. A soma de uma progressão geométrica com primeira parcela
, razão
e
termos é
Portanto, para o nosso
com
temos
Passo 3
Vamos resolver o problema por indução em
. Primeiro verificamos a base
. Para
temos
uns, ou seja
E
, logo
. A base da indução está pronta.
Passo 4
Agora assumimos a hipótese de indução: seja
tal que o número
formado por
uns é divisível por
. Em notação,
Queremos provar que o número
formado por
uns é divisível por
, isto é,
Passo 5
Usamos a identidade de diferença de cubos para fatorar
. Observe que
, então
A identidade
com
e
dá
Dividindo ambos os lados por
obtemos uma relação entre
e
:
onde definimos
Passo 6
Mostramos que
é múltiplo de
, assim garantindo um fator
extra ao passar de
para
. Note que
porque
é divisível por
. Então, elevando ambos os lados a qualquer potência inteira positiva
temos
. Em particular,
Assim
ou seja
. Portanto
fornece pelo menos um fator
.
Passo 7
Combinando a hipótese de indução
com o fato de que
, concluímos que
é divisível por
. Logo
. Assim a propriedade se mantém do passo
para
.
Passo 8
Como a propriedade vale para
(Passo 3) e o passo indutivo foi provado (Passos 4–7), por indução matemática segue que para todo
o número
formado por
uns é divisível por
. Isto completa a prova.