Seja k=111 \ldots 1 um número formado por 3^{n} uns com n \geq 1. Prove que 3^{n} divide k.

Passo 1

O enunciado dá um número k formado por 3^{n} algarismos iguais a 1, com n\geq1, e pede para provar que 3^{n} divide k.\n
Informações importantes fornecidas:
\text{(i) }k \text{ é o inteiro formado por }3^{n}\text{ uns;}\qquad \text{(ii) }n\geq1.é
O objetivo é mostrar que
3^{n}\mid k.

Passo 2

Vamos primeiro escrever o número formado por m algarismos 1 (no sistema decimal) usando uma fórmula fechada. Se m é um inteiro positivo, o número com m uns é
k_m = 111\ldots1 \;(\text{com }m\text{ uns}).
Esse número pode ser visto como a soma
k_m = 10^{m-1}+10^{m-2}+\cdots+10+1,
que é uma progressão geométrica de razão 10 e m termos. A soma de uma progressão geométrica com primeira parcela 1, razão 10 e m termos é
k_m = \frac{10^{m}-1}{10-1}=\frac{10^{m}-1}{9}.
Portanto, para o nosso k com m=3^{n} temos
k=\frac{10^{3^{n}}-1}{9}.

Passo 3

Vamos resolver o problema por indução em n. Primeiro verificamos a base n=1. Para n=1 temos 3^{1}=3 uns, ou seja
k=\frac{10^{3}-1}{9}=\frac{1000-1}{9}=\frac{999}{9}=111.
E 111 = 3\cdot 37, logo 3^{1}\mid k. A base da indução está pronta.

Passo 4

Agora assumimos a hipótese de indução: seja n\geq1 tal que o número k_n formado por 3^{n} uns é divisível por 3^{n}. Em notação,
k_n=\frac{10^{3^{n}}-1}{9}\quad\text{e}\quad 3^{n}\mid k_n.
Queremos provar que o número k_{n+1} formado por 3^{n+1} uns é divisível por 3^{n+1}, isto é,
3^{n+1}\mid k_{n+1}=\frac{10^{3^{n+1}}-1}{9}.

Passo 5

Usamos a identidade de diferença de cubos para fatorar 10^{3^{n+1}}-1. Observe que 3^{n+1}=3\cdot 3^{n}, então
10^{3^{n+1}}-1 = \bigl(10^{3^{n}}\bigr)^{3}-1^{3}.
A identidade a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) com a=10^{3^{n}} e b=1
10^{3^{n+1}}-1 = \bigl(10^{3^{n}}-1\bigr)\bigl(10^{2\cdot 3^{n}}+10^{3^{n}}+1\bigr).
Dividindo ambos os lados por 9 obtemos uma relação entre k_{n+1} e k_{n}:
k_{n+1}=\frac{10^{3^{n+1}}-1}{9}=\frac{10^{3^{n}}-1}{9}\cdot\bigl(10^{2\cdot 3^{n}}+10^{3^{n}}+1\bigr)=k_{n}\cdot S,
onde definimos
S=10^{2\cdot 3^{n}}+10^{3^{n}}+1.

Passo 6

Mostramos que S é múltiplo de 3, assim garantindo um fator 3 extra ao passar de k_{n} para k_{n+1}. Note que 10\equiv1\pmod{3} porque 10-1=9 é divisível por 3. Então, elevando ambos os lados a qualquer potência inteira positiva t temos 10^{t}\equiv1^{t}=1\pmod{3}. Em particular,
10^{2\cdot 3^{n}}\equiv1,\qquad 10^{3^{n}}\equiv1\pmod{3}.
Assim
S=10^{2\cdot 3^{n}}+10^{3^{n}}+1\equiv 1+1+1\equiv 0\pmod{3},
ou seja 3\mid S. Portanto S fornece pelo menos um fator 3.

Passo 7

Combinando a hipótese de indução 3^{n}\mid k_{n} com o fato de que 3\mid S, concluímos que
k_{n+1}=k_{n}\cdot S
é divisível por 3^{n}\cdot 3=3^{n+1}. Logo 3^{n+1}\mid k_{n+1}. Assim a propriedade se mantém do passo n para n+1.

Passo 8

Como a propriedade vale para n=1 (Passo 3) e o passo indutivo foi provado (Passos 4–7), por indução matemática segue que para todo n\geq1 o número k formado por 3^{n} uns é divisível por 3^{n}. Isto completa a prova.

Resposta

\;3^{n}\mid k\;

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