Prove que, para cada inteiro positivo n \geq 1,3^{n+1} divide 2^{3^{n}}+1.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que, para todo inteiro positivo n\ge 1, a potência 3^{n+1} divide o número 2^{3^{n}}+1.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
\;n é um inteiro e \;n\ge 1.
A queremos provar a divisibilidade
3^{n+1}\mid 2^{3^{n}}+1,
ou equivalentemente a congruência
2^{3^{n}}\equiv -1\pmod{3^{n+1}}.

Passo 2

Estratégia escolhida: vamos provar a afirmação por indução em n.
Breve lembrança do que é indução: para provar uma afirmação P(n) para todo n\ge 1 fazemos dois passos: (i) mostramos P(1) (base), e (ii) assumimos P(n) e mostramos P(n+1) (passo indutivo). Se esses dois passos funcionam, então P(n) vale para todo n\ge1. Aqui P(n) é a afirmação \;3^{n+1}\mid 2^{3^{n}}+1.

Passo 3

Base da indução ( n=1).
Calculemos 2^{3^{1}}+1=2^{3}+1=8+1=9.
Como 9=3^{2}, temos de fato
3^{1+1}=3^{2}\mid 2^{3^{1}}+1.
Então a base P(1) é verdadeira.

Passo 4

Hipótese de indução.
Suponha que para algum n\ge 1 vale
3^{n+1}\mid 2^{3^{n}}+1,
ou seja, exista um inteiro k tal que
2^{3^{n}}+1=k\cdot 3^{n+1}.
É conveniente escrever essa hipótese na forma de congruência:
2^{3^{n}}\equiv -1\pmod{3^{n+1}}.

Passo 5

Objetivo do passo indutivo.
Partindo da hipótese 2^{3^{n}}\equiv -1\pmod{3^{n+1}}, queremos provar
3^{(n+1)+1}=3^{n+2}\mid 2^{3^{\,n+1}}+1,
ou seja
2^{3^{\,n+1}}\equiv -1\pmod{3^{n+2}}.

Passo 6

Manipulação algébrica usando desenvolvimento binomial.
Da hipótese, escrevemos
a:=2^{3^{n}} \equiv -1\pmod{3^{n+1}},
então existe um inteiro m tal que
a = -1 + m,\qquad\text{com}\qquad m = t\cdot 3^{n+1}\text{ para algum inteiro }t.
Queremos estudar a^{3}=2^{3^{n+1}}. Vamos expandir a^{3} usando a fórmula do cubo:
a^{3}=(-1+m)^{3} = -1 + 3m - 3m^{2} + m^{3}.
Logo
a^{3}+1 = 3m - 3m^{2} + m^{3} = 3m\bigl(1 - m + \tfrac{m^{2}}{3}\bigr).

Passo 7

Verificação de divisibilidade por 3^{n+2}.
Lembre que m=t\cdot 3^{n+1}. Então 3m = 3t\cdot 3^{n+1} = t\cdot 3^{n+2}, ou seja 3m já contém o fator 3^{n+2}. Precisamos apenas verificar que o outro fator \bigl(1 - m + \tfrac{m^{2}}{3}\bigr) é inteiro.
Observe:
\tfrac{m^{2}}{3} = \tfrac{t^{2}\cdot 3^{2(n+1)}}{3} = t^{2}\cdot 3^{2n+1},
que é claramente um inteiro porque 2n+1\ge 1. Portanto 1 - m + \tfrac{m^{2}}{3} é soma de inteiros, logo é inteiro. Portanto a^{3}+1 é múltiplo de 3^{n+2}:
a^{3}+1 = 2^{3^{n+1}}+1 \quad\text{é divisível por}\quad 3^{n+2}.éí
Em notação de congruência:
2^{3^{n+1}}\equiv -1\pmod{3^{n+2}}.

Passo 8

Conclusão da indução.
Mostramos a base P(1) e que P(n)\Rightarrow P(n+1). Portanto, por indução, a afirmação vale para todo inteiro n\ge 1: para cada n\ge 1 temos 3^{n+1}\mid 2^{3^{n}}+1. (Uma checagem rápida com n=2 2^{9}+1=512+1=513=27\cdot 19, o que confirma o enunciado para n=2.)

Resposta

\;3^{n+1}\mid 2^{3^{n}}+1

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