prove que
2^{n}>n^{2} \forall n \geq 5

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que 2^{n} > n^{2} para todo n \geq 5.
Informações dadas explicitamente: nenhum valor adicional além da desigualdade a ser demonstrada e a condição n \geq 5.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicada como se fosse uma aulinha rápida): vou usar o princípio da indução matemática porque é uma ferramenta direta para provar afirmações que valem para “todos os inteiros a partir de um ponto”. A indução tem duas etapas:
  • Base: mostrar que a afirmação é verdadeira para o primeiro inteiro da sequência (aqui n=5).
  • Passo indutivo: mostrar que, se a afirmação vale para um certo k (hipótese indutiva), então ela também vale para k+1.
    Se as duas etapas funcionarem, a afirmação vale para todo n\ge 5. Agora aplico isso passo a passo.

Passo 3

Base da indução: verificar n=5.
Calcule:
2^{5}=32
e
5^{2}=25.
Como 32>25, a desigualdade 2^{n}>n^{2} é verdadeira para n=5. Portanto a base está OK.

Passo 4

Hipótese indutiva: suponha que a desigualdade seja verdadeira para algum inteiro k\geq 5; isto é, suponha
2^{k}>k^{2}.
A partir disso queremos provar que vale também para k+1, ou seja, que
2^{k+1}>(k+1)^{2}.

Passo 5

Começo o passo indutivo transformando 2^{k+1} usando a hipótese:
2^{k+1}=2\cdot 2^{k}.
Pela hipótese indutiva 2^{k}>k^{2}, então
2^{k+1}=2\cdot 2^{k}>2\cdot k^{2}.
Logo fica suficiente mostrar que
2\cdot k^{2}\ge (k+1)^{2}
para obter 2^{k+1}>(k+1)^{2} (pois 2^{k+1}>2k^{2}\ge (k+1)^{2} implicaria a desigualdade desejada).

Passo 6

Agora provamos a desigualdade auxiliar 2k^{2}\ge(k+1)^{2} para todo k\ge5. Desenvolvendo o quadrado:
(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1.
A desigualdade 2k^{2}\ge k^{2}+2k+1 é equivalente a
k^{2}-2k-1\ge 0.
Para k\ge 5 calculamos um valor mínimo estimado:
k^{2}-2k-1 \ge 5^{2}-2\cdot 5 -1 =25-10-1=14.
Como 14>0, temos k^{2}-2k-1\ge 14>0 para todo k\ge 5. Portanto k^{2}-2k-1\ge 0 e assim 2k^{2}\ge (k+1)^{2} para todo k\ge 5.

Passo 7

Combinação das desigualdades do passo indutivo: a partir de 2^{k+1}>2k^{2} (Passo 5) e de 2k^{2}\ge (k+1)^{2} (Passo 6) obtemos
2^{k+1}>(k+1)^{2}.
Isso completa o passo indutivo: se 2^{k}>k^{2} para algum k\ge 5, então 2^{k+1}>(k+1)^{2}.

Passo 8

Conclusão por indução: como a afirmação é verdadeira para n=5 (Passo 3) e o passo indutivo foi demonstrado (Passos 4–7), pelo princípio da indução matemática a desigualdade
2^{n}>n^{2}
vale para todo inteiro n\ge 5. Força — está provado!

Resposta

2^{n}>n^{2}\\ \forall n\geq 5

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