prove que
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que
para todo
.
Informações dadas explicitamente: nenhum valor adicional além da desigualdade a ser demonstrada e a condição
.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicada como se fosse uma aulinha rápida): vou usar o princípio da indução matemática porque é uma ferramenta direta para provar afirmações que valem para “todos os inteiros a partir de um ponto”. A indução tem duas etapas:
- Base: mostrar que a afirmação é verdadeira para o primeiro inteiro da sequência (aqui
). - Passo indutivo: mostrar que, se a afirmação vale para um certo
(hipótese indutiva), então ela também vale para .
Se as duas etapas funcionarem, a afirmação vale para todo. Agora aplico isso passo a passo.
Passo 3
Base da indução: verificar
.
Calcule:
Calcule:
e
Como
, a desigualdade
é verdadeira para
. Portanto a base está OK.
Passo 4
Hipótese indutiva: suponha que a desigualdade seja verdadeira para algum inteiro
; isto é, suponha
A partir disso queremos provar que vale também para
, ou seja, que
Passo 5
Começo o passo indutivo transformando
usando a hipótese:
Pela hipótese indutiva
, então
Logo fica suficiente mostrar que
para obter
(pois
implicaria a desigualdade desejada).
Passo 6
Agora provamos a desigualdade auxiliar
para todo
. Desenvolvendo o quadrado:
A desigualdade
é equivalente a
Para
calculamos um valor mínimo estimado:
Como
, temos
para todo
. Portanto
e assim
para todo
.
Passo 7
Combinação das desigualdades do passo indutivo: a partir de
(Passo 5) e de
(Passo 6) obtemos
Isso completa o passo indutivo: se
para algum
, então
.
Passo 8
Conclusão por indução: como a afirmação é verdadeira para
(Passo 3) e o passo indutivo foi demonstrado (Passos 4–7), pelo princípio da indução matemática a desigualdade
vale para todo inteiro
. Força — está provado!