Prove que 47^{47}+77^{77} é divisível por 4 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 47^{47} + 77^{77} é múltiplo de 4, ou seja,
47^{47} + 77^{77} \equiv 0 \pmod{4}.
Vamos usar aritmética modular, reduzindo cada base módulo 4 e aproveitando que potências respeitam congruências.

Passo 2

Calculamos primeiro 47 \bmod 4. Como 47 = 4\cdot11 + 3, segue
47 \equiv 3 \equiv -1 \pmod{4}.
Logo
47^{47} \equiv (-1)^{47} \pmod{4}.
Como o expoente 47 é ímpar, temos (-1)^{47} = -1. Portanto
47^{47} \equiv -1 \equiv 3 \pmod{4}.

Passo 3

Agora reduzimos 77 módulo 4. Como 77 = 4\cdot19 + 1, temos
77 \equiv 1 \pmod{4}.
Logo
77^{77} \equiv 1^{77} = 1 \pmod{4}.

Passo 4

Somando as duas congruências:
47^{47} + 77^{77} \equiv 3 + 1 = 4 \equiv 0 \pmod{4}.
Isso mostra exatamente que 47^{47} + 77^{77} é divisível por 4.

Resposta

47^{47} + 77^{77} é divisível por 4.

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