Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de \left(x^{3}-3 x+1\right)^{2018}.

Passo 1

O enunciado pede a soma dos coeficientes do polinômio \bigl(x^{3}-3x+1\bigr)^{2018}. Esse tipo de problema cai no conteúdo de “propriedades de polinômios” e, em particular, usamos a famosa propriedade de que a soma dos coeficientes de um polinômio P(x) é igual a P(1).

Passo 2

Pela propriedade citada, basta avaliar o polinômio dado em x=1. Assim, se definirmos
P(x)=\bigl(x^{3}-3x+1\bigr)^{2018},
então a soma dos coeficientes de P(x) é
P(1).

Passo 3

Vamos calcular P(1). Primeiro, dentro do parêntese temos
1^{3}-3\cdot1+1 = 1 - 3 + 1 = -1.

Passo 4

Logo,
P(1)=(-1)^{2018}.
Como o expoente 2018 é par, concluímos que
(-1)^{2018}=1.

Resposta

1

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