\begin{aligned} & a) 1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots+(2 n-1)^{3}=n^{2}\left(2 n^{2}-1\right), \forall n \in N \\\ & b) 1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\cdots n(n+1)=\frac{n}{3}(n+1)(n+2), \forall n \in N . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para provar duas fórmulas que valem para todo n\in\mathbb{N}. As igualdades a demonstrar são:
  • (a) 1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots+(2n-1)^{3}=n^{2}\left(2n^{2}-1\right),\\ \forall n\in\mathbb{N}.
  • (b) 1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots + n(n+1)=\frac{n}{3}(n+1)(n+2),\\ \forall n\in\mathbb{N}.
Informações relevantes dadas: as somas mostradas (soma de cubos de ímpares no item (a) e soma de produtos k(k+1) no item (b)) e a proposição de igualdade para todo n\in\mathbb{N}. Vou provar cada identidade para todo n (sem assumir nada previamente) usando um método que permita estabelecer a validade para qualquer n: primeiro verifico um caso inicial e depois mostro que, se vale para n, vale para n+1.

Passo 2

Breve explicação do método que será usado (prova por indução): a prova por indução matemática tem duas etapas essenciais.
  1. Base da indução: verificar que a igualdade é verdadeira para um primeiro valor (normalmente n=1). Isso garante que a proposição é verdadeira em pelo menos um caso inicial.
  2. Passo indutivo: assumir que a igualdade é verdadeira para um n arbitrário (hipótese de indução) e, a partir disso, deduzir que a igualdade também é verdadeira para n+1. Se esse passo funciona, então a propriedade “propaga-se” de 1 para 2, de 2 para 3, e assim sucessivamente, cobrindo todos os naturais.
Observação sobre manipulações algébricas: ao somar ou multiplicar polinômios, o procedimento é coletar termos semelhantes (mesmos graus de n). Ao fatorar, é comum retirar o fator comum e simplificar frações com soma e multiplicação simples.
Agora aplico esse procedimento separadamente para (a) e (b), detalhando cada conta.

Passo 3

Prova detalhada de (a) — base da indução.
Verificar n=1.
O lado esquerdo é a soma dos primeiros 1 termos ímpares ao cubo: 1^{3}=1.
O lado direito para n=1 é 1^{2}\left(2\cdot 1^{2}-1\right)=1\cdot(2-1)=1.
Como os dois lados coincidem, a base da indução está verificada.

Passo 4

Prova detalhada de (a) — hipótese de indução e início do passo indutivo.
Suponha que a igualdade seja verdadeira para um n arbitrário, isto é, suponha a hipótese de indução:
1^{3}+3^{3}+\cdots+(2n-1)^{3}=n^{2}\left(2n^{2}-1\right).
Chamarei essa soma de S(n), isto é,
S(n)=n^{2}\left(2n^{2}-1\right).
Quero mostrar que a mesma forma vale para n+1, ou seja,
S(n+1)=1^{3}+3^{3}+\cdots+(2n-1)^{3}+(2(n+1)-1)^{3}=(n+1)^{2}\left(2(n+1)^{2}-1\right).

Passo 5

Prova detalhada de (a) — cálculo de S(n+1) usando a hipótese.
Usando S(n) e adicionando o próximo termo:
\begin{aligned} S(n+1)&=S(n)+(2(n+1)-1)^{3}\\[4pt] &=n^{2}\left(2n^{2}-1\right)+(2n+1)^{3}. \end{aligned}
Agora expando (2n+1)^{3}. Pelo binômio de Newton, (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}. Tomando a=2n e b=1:
(2n+1)^{3}=(2n)^{3}+3(2n)^{2}\cdot 1+3(2n)\cdot 1^{2}+1^{3}.
Calculando termo a termo:
(2n)^{3}=8n^{3},\quad 3(2n)^{2}=3\cdot 4n^{2}=12n^{2},\quad 3(2n)=6n,\quad 1^{3}=1.
Portanto
(2n+1)^{3}=8n^{3}+12n^{2}+6n+1.]

Passo 6

Prova detalhada de (a) — somando e coletando termos.
Substituo a expansão em S(n+1):
\begin{aligned} S(n+1)&=n^{2}\left(2n^{2}-1\right)+8n^{3}+12n^{2}+6n+1\\[4pt] &=2n^{4}-n^{2}+8n^{3}+12n^{2}+6n+1\\[4pt] &=2n^{4}+8n^{3}+11n^{2}+6n+1. \end{aligned}
(agrupamento feito por potências de n: n^{4}, n^{3}, n^{2}, n, 1).]

Passo 7

Prova detalhada de (a) — mostrar que a expressão obtida é igual ao lado direito para n+1.
Calculo o lado direito pretendido para n+1:
\begin{aligned} (n+1)^{2}\left(2(n+1)^{2}-1\right) &=(n+1)^{2}\left(2(n^{2}+2n+1)-1\right)\\[4pt] &=(n+1)^{2}\left(2n^{2}+4n+2-1\right)\\[4pt] &=(n+1)^{2}\left(2n^{2}+4n+1\right). \end{aligned}
Agora expando (n+1)^{2}(2n^{2}+4n+1). Primeiro (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1. Multiplicando:
\begin{aligned} (n^{2}+2n+1)(2n^{2}+4n+1) &=n^{2}(2n^{2}+4n+1)+2n(2n^{2}+4n+1)+1(2n^{2}+4n+1)\\[4pt] &=(2n^{4}+4n^{3}+n^{2})+(4n^{3}+8n^{2}+2n)+(2n^{2}+4n+1)\\[4pt] &=2n^{4}+(4n^{3}+4n^{3})+ (n^{2}+8n^{2}+2n^{2})+(2n+4n)+1\\[4pt] &=2n^{4}+8n^{3}+11n^{2}+6n+1. \end{aligned}
Isso coincide exatamente com o valor obtido para S(n+1) no passo anterior. Logo
S(n+1)=(n+1)^{2}\left(2(n+1)^{2}-1\right).]

Passo 8

Prova detalhada de (a) — conclusão por indução.
Como a igualdade vale para n=1 (base) e mostramos que, se vale para n, então vale para n+1 (passo indutivo), pela propriedade da indução matemática a identidade é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}. Portanto a parte (a) está provada.

Passo 9

Prova detalhada de (b) — base da indução.
Verificar n=1.
Lado esquerdo: 1\cdot2=2.
Lado direito: \dfrac{1}{3}\cdot(1+1)\cdot(1+2)=\dfrac{1}{3}\cdot 2\cdot 3=2.
Os lados coincidem, logo a base da indução está verificada.

Passo 10

Prova detalhada de (b) — hipótese de indução.
Suponha que, para um n arbitrário, valha
1\cdot2+2\cdot3+\cdots + n(n+1)=\frac{n}{3}(n+1)(n+2).
Denotando essa soma por T(n), queremos mostrar que
T(n+1)=1\cdot2+2\cdot3+\cdots + n(n+1)+(n+1)(n+2)=\frac{n+1}{3}(n+2)(n+3).

Passo 11

Prova detalhada de (b) — cálculo de T(n+1) usando a hipótese.
Partindo de T(n+1)=T(n)+(n+1)(n+2) e usando a hipótese:
\begin{aligned} T(n+1)&=\frac{n}{3}(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)\\[4pt] &=(n+1)(n+2)\left(\frac{n}{3}+1\right). \end{aligned}
Agora simplifico a soma dentro do parêntese:
\frac{n}{3}+1=\frac{n}{3}+\frac{3}{3}=\frac{n+3}{3}.
Substituindo:
T(n+1)=(n+1)(n+2)\cdot\frac{n+3}{3}=\frac{n+1}{3}(n+2)(n+3),
que é exatamente a fórmula desejada para n+1.]

Passo 12

Prova detalhada de (b) — conclusão por indução.
Como a fórmula vale para n=1 e mostramos que validade para n implica validade para n+1, pela indução a identidade é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}. Assim (b) está provada.

Resposta

(a) 1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots+(2n-1)^{3}=n^{2}\left(2n^{2}-1\right)
(b) 1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots + n(n+1)=\dfrac{n}{3}(n+1)(n+2)

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