Passo 1
O enunciado pede para provar duas fórmulas que valem para todo
. As igualdades a demonstrar são:
-
(a)
-
(b)
Informações relevantes dadas: as somas mostradas (soma de cubos de ímpares no item (a) e soma de produtos
no item (b)) e a proposição de igualdade para todo
. Vou provar cada identidade para todo
(sem assumir nada previamente) usando um método que permita estabelecer a validade para qualquer
: primeiro verifico um caso inicial e depois mostro que, se vale para
, vale para
.
Passo 2
Breve explicação do método que será usado (prova por indução): a prova por indução matemática tem duas etapas essenciais.
-
Base da indução: verificar que a igualdade é verdadeira para um primeiro valor (normalmente
). Isso garante que a proposição é verdadeira em pelo menos um caso inicial. -
Passo indutivo: assumir que a igualdade é verdadeira para um
arbitrário (hipótese de indução) e, a partir disso, deduzir que a igualdade também é verdadeira para . Se esse passo funciona, então a propriedade “propaga-se” de para , de para , e assim sucessivamente, cobrindo todos os naturais.
Observação sobre manipulações algébricas: ao somar ou multiplicar polinômios, o procedimento é coletar termos semelhantes (mesmos graus de
). Ao fatorar, é comum retirar o fator comum e simplificar frações com soma e multiplicação simples.
Agora aplico esse procedimento separadamente para (a) e (b), detalhando cada conta.
Passo 3
Prova detalhada de (a) — base da indução.
Verificar
.
O lado esquerdo é a soma dos primeiros
termos ímpares ao cubo:
O lado direito para
é
Como os dois lados coincidem, a base da indução está verificada.
Passo 4
Prova detalhada de (a) — hipótese de indução e início do passo indutivo.
Suponha que a igualdade seja verdadeira para um
arbitrário, isto é, suponha a hipótese de indução:
Chamarei essa soma de
, isto é,
Quero mostrar que a mesma forma vale para
, ou seja,
Passo 5
Prova detalhada de (a) — cálculo de
usando a hipótese.
Usando
e adicionando o próximo termo:
Agora expando
. Pelo binômio de Newton,
. Tomando
e
:
Calculando termo a termo:
Portanto
Passo 6
Prova detalhada de (a) — somando e coletando termos.
Substituo a expansão em
:
(agrupamento feito por potências de
:
).]
Passo 7
Prova detalhada de (a) — mostrar que a expressão obtida é igual ao lado direito para
.
Calculo o lado direito pretendido para
:
Agora expando
. Primeiro
. Multiplicando:
Isso coincide exatamente com o valor obtido para
no passo anterior. Logo
Passo 8
Prova detalhada de (a) — conclusão por indução.
Como a igualdade vale para
(base) e mostramos que, se vale para
, então vale para
(passo indutivo), pela propriedade da indução matemática a identidade é verdadeira para todo
. Portanto a parte (a) está provada.
Passo 9
Prova detalhada de (b) — base da indução.
Verificar
.
Lado esquerdo:
.
Lado direito:
.
Os lados coincidem, logo a base da indução está verificada.
Passo 10
Prova detalhada de (b) — hipótese de indução.
Suponha que, para um
arbitrário, valha
Denotando essa soma por
, queremos mostrar que
Passo 11
Prova detalhada de (b) — cálculo de
usando a hipótese.
Partindo de
e usando a hipótese:
Agora simplifico a soma dentro do parêntese:
Substituindo:
que é exatamente a fórmula desejada para
.]
Passo 12
Prova detalhada de (b) — conclusão por indução.
Como a fórmula vale para
e mostramos que validade para
implica validade para
, pela indução a identidade é verdadeira para todo
. Assim (b) está provada.
Resposta
(a)
(b)