Prove, por demonstração direta, por demonstração por contraposição e por demonstração por absurdo a seguinte proposição:
"Se 2 x^{2}+x-1=0, então x<1 "

Passo 1

O enunciado dá a proposição: "Se 2x^{2}+x-1=0, então x<1".
Informações dadas:
  • A condição (hipótese) é 2x^{2}+x-1=0.
    O que se pede:
  • Mostrar, de três formas diferentes (direta, por contraposição e por absurdo), que a partir dessa condição segue x<1.

Passo 2

Demonstração direta (resolução passo a passo, com aulazinha sobre quadráticas).
  • Ideia: resolver a equação quadrática e ver quais são as raízes; se todas as raízes são menores que 1, então qualquer x que satisfaça a equação satisfaz x<1.
  • Lembrete rápido sobre quadráticas: uma equação do tipo a x^{2}+b x+c=0 (com a\neq0) pode ser resolvida encontrando as raízes por fatoração ou pela fórmula quadrática. A fórmula usa o discriminante \Delta = b^{2}-4ac e dá as raízes
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Outra forma é tentar fatorar a expressão quadrática em dois fatores lineares.
  • Aplicando isso à nossa equação 2x^{2}+x-1=0: procuro fatorar 2x^{2}+x-1. Faço uma fatoração por agrupamento:
2x^{2}+x-1 = 2x^{2}+2x - x -1 = 2x(x+1) -1(x+1) = (2x-1)(x+1).
  • Assim a equação 2x^{2}+x-1=0 fica
(2x-1)(x+1)=0.
Pela propriedade do produto nulo, as soluções são 2x-1=0 ou x+1=0, isto é,
x=\frac{1}{2}\quad\text{ou}\quad x=-1.
  • Observação: ambas as soluções satisfazem x<1, pois \frac{1}{2}<1 e -1<1. Portanto, sempre que 2x^{2}+x-1=0 temos x<1. Concluímos a prova direta.

Passo 3

Demonstração por contraposição (explicando o método).
  • Lembrete sobre contraposição: a implicação P\Rightarrow Q é logicamente equivalente à sua contrapositiva \neg Q\Rightarrow \neg P. Aqui P é " 2x^{2}+x-1=0 " e Q é " x<1 ". A contrapositiva é:
x\ge 1 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2}+x-1\neq 0.
  • Prova da contrapositiva: suponha x\ge 1. Então x^{2}\ge 1 (porque elevar um número maior ou igual a 1 ao quadrado dá algo maior ou igual a 1). Assim
2x^{2}+x-1 \ge 2\cdot 1 + 1 - 1 = 2.
Portanto 2x^{2}+x-1\ge 2>0, em particular 2x^{2}+x-1\neq 0. Isso mostra a contrapositiva verdadeira, logo a implicação original é verdadeira.

Passo 4

Demonstração por absurdo (redução ao absurdo).
  • Método: assumir que a hipótese é verdadeira e que a conclusão é falsa, e deduzir uma contradição.
  • Suponha, para fins de contradição, que 2x^{2}+x-1=0 e simultaneamente x\ge 1 (negativa da conclusão). Mas, como em Passo 3, se x\ge 1 então 2x^{2}+x-1\ge 2>0. Isso contradiz a hipótese de que 2x^{2}+x-1=0.
  • Como essa suposição levou a uma contradição, não pode ocorrer; portanto a negação da conclusão é impossível quando a hipótese é verdadeira. Conclui-se que, se 2x^{2}+x-1=0, então necessariamente x<1.

Passo 5

Resumo do aprendizado prático (dica de prova na hora da prova):
  • A prova direta mais rápida é fatorar 2x^{2}+x-1 e verificar as raízes \frac{1}{2} e -1.
  • A contrapositiva costuma ser útil quando é fácil mostrar que a hipótese falha a partir da negação da conclusão (aqui foi simples porque para x\ge1 a expressão é claramente positiva).
  • A prova por absurdo é curta: assumir x\ge1 e a equação leva a contradizer que o polinômio seja zero.

Resposta

A proposição é verdadeira.

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