Prove, por demonstração direta, por demonstração por contraposição e por demonstração por absurdo a seguinte proposição:
"Se
, então
"
"Se
Passo 1
O enunciado dá a proposição: "Se
, então
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A condição (hipótese) é
.
O que se pede: - Mostrar, de três formas diferentes (direta, por contraposição e por absurdo), que a partir dessa condição segue
.
Passo 2
Demonstração direta (resolução passo a passo, com aulazinha sobre quadráticas).
- Ideia: resolver a equação quadrática e ver quais são as raízes; se todas as raízes são menores que
, então qualquer que satisfaça a equação satisfaz . - Lembrete rápido sobre quadráticas: uma equação do tipo
(com ) pode ser resolvida encontrando as raízes por fatoração ou pela fórmula quadrática. A fórmula usa o discriminante e dá as raízes
Outra forma é tentar fatorar a expressão quadrática em dois fatores lineares.
- Aplicando isso à nossa equação
: procuro fatorar . Faço uma fatoração por agrupamento:
- Assim a equação
fica
Pela propriedade do produto nulo, as soluções são
ou
, isto é,
- Observação: ambas as soluções satisfazem
, pois e . Portanto, sempre que temos . Concluímos a prova direta.
Passo 3
Demonstração por contraposição (explicando o método).
- Lembrete sobre contraposição: a implicação
é logicamente equivalente à sua contrapositiva . Aqui é " " e é " ". A contrapositiva é:
- Prova da contrapositiva: suponha
. Então (porque elevar um número maior ou igual a ao quadrado dá algo maior ou igual a ). Assim
Portanto
, em particular
. Isso mostra a contrapositiva verdadeira, logo a implicação original é verdadeira.
Passo 4
Demonstração por absurdo (redução ao absurdo).
- Método: assumir que a hipótese é verdadeira e que a conclusão é falsa, e deduzir uma contradição.
- Suponha, para fins de contradição, que
e simultaneamente (negativa da conclusão). Mas, como em Passo 3, se então . Isso contradiz a hipótese de que . - Como essa suposição levou a uma contradição, não pode ocorrer; portanto a negação da conclusão é impossível quando a hipótese é verdadeira. Conclui-se que, se
, então necessariamente .
Passo 5
Resumo do aprendizado prático (dica de prova na hora da prova):
- A prova direta mais rápida é fatorar
e verificar as raízes e . - A contrapositiva costuma ser útil quando é fácil mostrar que a hipótese falha a partir da negação da conclusão (aqui foi simples porque para
a expressão é claramente positiva). - A prova por absurdo é curta: assumir
e a equação leva a contradizer que o polinômio seja zero.
Resposta
A proposição é verdadeira.