Prove as afirmações verdadeiras e, quando falsa, dê um contra-exemplo.
Se as matrizes A e B são tais que \operatorname{det}(A B) \neq 0 devemos ter \operatorname{det}(A) \neq 0 e \operatorname{det}(B) \neq 0

Passo 1

O enunciado considera duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem tais que
\det(AB)\neq 0
e pede para mostrar que necessariamente
\det(A)\neq 0 \quad\text{e}\quad \det(B)\neq 0.
Para isso vamos usar a propriedade multiplicativa do determinante e o fato de que, em um corpo, um produto é não nulo se e somente se cada fator for não nulo.

Passo 2

Usamos a propriedade fundamental dos determinantes de matrizes quadradas:
\det(AB)=\det(A)\,\det(B).

Passo 3

Como \det(AB)\neq 0, da igualdade acima segue
\det(A)\,\det(B)\neq 0.
Em um corpo (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}), um produto é não nulo se e somente se cada fator for não nulo. Logo
\det(A)\neq 0 \quad\text{e}\quad \det(B)\neq 0.

Passo 4

De quebra, lembramos que para matrizes quadradas vale:
\det(X)\neq 0 \iff X\text{ é inversível}.éí
Portanto A e B são inversíveis sempre que \det(AB)\neq 0.

Resposta

A afirmação é verdadeira: se \det(AB)\neq 0, então necessariamente \det(A)\neq 0 e \det(B)\neq 0.

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