Prove as afirmações verdadeiras e, quando falsa, dê um contra-exemplo.
Se as matrizes A e B são tais que
devemos ter
e
Se as matrizes A e B são tais que
Passo 1
O enunciado considera duas matrizes quadradas
e
de mesma ordem tais que
e pede para mostrar que necessariamente
Para isso vamos usar a propriedade multiplicativa do determinante e o fato de que, em um corpo, um produto é não nulo se e somente se cada fator for não nulo.
Passo 2
Usamos a propriedade fundamental dos determinantes de matrizes quadradas:
Passo 3
Como
, da igualdade acima segue
Em um corpo (por exemplo
ou
), um produto é não nulo se e somente se cada fator for não nulo. Logo
Passo 4
De quebra, lembramos que para matrizes quadradas vale:
Portanto
e
são inversíveis sempre que
.
Resposta
A afirmação é verdadeira: se
, então necessariamente
e
.