Prove que para
, temos que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dentro dos inteiros com adição, aplicando-se o inverso duas vezes a um número inteiro
, voltamos ao próprio
. O conteúdo usado aqui é o de grupo abeliano (adição em
): existe elemento neutro (0) e, para todo inteiro
, existe inverso aditivo
tal que
. Além disso, sabemos que o inverso aditivo é único.
Passo 2
Começamos lembrando que, por definição de inverso aditivo em
, vale
Isso significa que
é o único número que somado a
dá 0. Agora, seja
. Então
porque
é o inverso aditivo de
por definição. Mas também sabemos que
ou seja,
também é um inverso aditivo de
. Pela unicidade do inverso aditivo em um grupo abeliano, concluímos que
Isto é,