Prove que para alpha, beta, gamma in Z, temos que:
-(-alpha)=alpha

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dentro dos inteiros com adição, aplicando-se o inverso duas vezes a um número inteiro alpha, voltamos ao próprio alpha. O conteúdo usado aqui é o de grupo abeliano (adição em Z): existe elemento neutro (0) e, para todo inteiro x, existe inverso aditivo -x tal que x + (-x) = 0. Além disso, sabemos que o inverso aditivo é único.

Passo 2

Começamos lembrando que, por definição de inverso aditivo em Z, vale
alpha + (-alpha) = 0
Isso significa que -alpha é o único número que somado a alpha dá 0. Agora, seja x = -(-alpha). Então
(-alpha) + x = 0
porque x é o inverso aditivo de -alpha por definição. Mas também sabemos que
alpha + (-alpha) = 0
ou seja, alpha também é um inverso aditivo de -alpha. Pela unicidade do inverso aditivo em um grupo abeliano, concluímos que
x = alpha
Isto é,
-(-alpha) = alpha

Resposta

-(-alpha)) = alpha

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