A multiplicação em é comutativa, associativa, tem como neutro multiplicativo e é distributiva em relação à adição.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, no anel construído como quociente de NtimesN pela relação (a,b)sim(c,d) se a+d=b+c, a multiplicação definida por (a,b)cdot(c,d)=(ac+bd,;ad+bc) é comutativa, associativa, tem (1,0) como neutro e é distributiva em relação à adição. Vamos usar as propriedades de comutatividade e associatividade em N e a definição de soma de classes.
Passo 2
Primeiro, comutatividade: observe que em N vale ac=ca e bd=db, então ac+bd=ca+db. Igualmente ad+bc=db+ca. Isso mostra que as coordenadas da classe multiplicada trocam de lugar e definem a mesma classe, logo
Agora, associatividade: calcule primeiro ((a,b)cdot(c,d))cdot(e,f). Pelo mesmo definição, a primeira multiplicação é
(ac+bd,;ad+bc)e multiplicando por (e,f) vem
l(ac+bdr)e+l(ad+bcr)f,;(ac+bd)f+l(ad+bcr)eque, ao distribuir e usar que em N a multiplicação e a soma são associativas e comutativas, fica
(a(ce)+b(de)+a(df)+b(cf),;a(df)+b(cf)+a(ce)+b(de))Fazendo (a,b)cdot((c,d)cdot(e,f)) dá exatamente a mesma expressão, então a multiplicação é associativa.
Passo 4
Sobre o neutro: basta ver
(1,0)cdot(a,b)=(1cdot a+0cdot b,;1cdot b+0cdot a)=(a,b),
portanto (1,0) é o elemento neutro multiplicativo.
$$Expandindo em (a,b)cdotl((c,d)+(e,f)r)=(a,b)cdot(c+e,;d+f)=(a(c+e)+b(d+f),;a(d+f)+b(c+e)) :
N
Por outro lado,
$$\overline{(a,b)}\cdot\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}\cdot\overline{(e,f)}=\overline{(ac+bd,;ad+bc)}+\overline{(ae+bf,;af+be)}
$$(ac+ae+bd+bf,;ad+af+bc+be)
que coincide com o anterior. O mesmo vale para a distributividade à direita.
Passo 6
Com isso vemos que a multiplicação em Z tem todas as propriedades de comutatividade, associatividade, neutro multiplicativo e distributividade em relação à adição.
Resposta
Concluímos que a multiplicação em Z, definida por (a,b)cdot(c,d)=(ac+bd,;ad+bc), é comutativa, associativa, tem (1,0) como neutro multiplicativo e satisfaz a distributividade em relação à adição.