Prove que
é uma hélice se, e só se, existe um vetor unitário
de
que forma um ângulo constante com os vetores binormais de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que uma curva
é uma hélice se, e só se, existe um vetor unitário
em
que forma um ângulo constante com os vetores binormais de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria diferencial, como vetores binormais e as propriedades das hélices.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma hélice. Uma hélice é uma curva que “enrola” em torno de uma linha reta fixa, mantendo um ângulo constante com essa linha. Imagine um parafuso ou uma escada em espiral – esses são exemplos de hélices.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o vetor binormal. Em geometria diferencial, para uma curva suave no espaço tridimensional, temos três vetores principais: o vetor tangente (
), o vetor normal (
) e o vetor binormal (
). O vetor binormal é perpendicular tanto ao vetor tangente quanto ao vetor normal, formando um sistema de coordenadas local na curva.
Passo 4
A condição da questão diz que existe um vetor unitário
que forma um ângulo constante com os vetores binormais de
. Isso significa que a direção de
mantém sempre o mesmo ângulo com
conforme nos movemos ao longo da curva.
Passo 5
Vamos agora provar a implicação “se”. Suponha que
é uma hélice. Então, por definição, o vetor binormal
se move de forma constante em relação a uma linha fixa, o que implica que existe um vetor
fixo que faz um ângulo constante com
.
Passo 6
Para a implicação “só se”, suponha que existe um vetor unitário
que forma um ângulo constante com os vetores binormais de
. Isso implica que a direção de
está sempre “girando” de maneira uniforme em torno de
, caracterizando uma hélice, já que mantém um ângulo fixo com uma direção fixa.
Resposta
Portanto, provamos que uma curva
é uma hélice se, e só se, existe um vetor unitário
em
que forma um ângulo constante com os vetores binormais de
.