Seja
uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. Prove que
é uma hélice se, e só se,
, as retas que passam por
, na direção de
, são paralelas a um plano fixo.
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre curvas no espaço tridimensional, especificamente sobre curvas chamadas hélices. O objetivo é provar que uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco, é uma hélice se, e somente se, para todo ponto da curva, as retas na direção do vetor normal são paralelas a um plano fixo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria diferencial, como o quadro de Frenet (que envolve os vetores tangente, normal e binormal) e as propriedades das hélices.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma hélice. Uma hélice é uma curva que tem curvatura constante e a torsão também constante. Isso significa que, ao percorrer a curva, a direção do vetor normal e do vetor binormal muda de maneira uniforme.
Passo 3
Como a curva é parametrizada pelo comprimento de arco, sabemos que a derivada da posição em relação ao parâmetro
nos dá o vetor tangente
:
Esse vetor tangente tem comprimento 1.
Passo 4
O próximo passo é considerar o vetor normal
, que aponta na direção da alteração de
:
E o vetor binormal
é dado pelo produto vetorial de
e
:
Passo 5
Agora, uma hélice possui a propriedade de que o vetor binormal
faz um ângulo constante com um vetor fixo no espaço. Isso implica que o vetor normal
está sempre contido em um plano fixo, pois a direção de
muda de forma linear.
Passo 6
A condição dada na questão diz que as retas na direção de
são paralelas a um plano fixo. Isso significa que o vetor
não varia sua orientação em relação a esse plano, mantendo assim uma direção constante ou rotacionando de maneira uniforme.
Passo 7
Se
está sempre paralelo a um plano fixo, então a torsão
da curva deve ser constante. Isso é uma característica das hélices, já que tanto a curvatura
quanto a torsão
são constantes.
Passo 8
Portanto, se para todo
, as retas na direção de
são paralelas a um plano fixo, a curva deve ser uma hélice porque satisfaz as condições de curvatura e torsão constantes.
Resposta
Assim, provamos que a curva
é uma hélice se, e somente se, para todo
no domínio, as retas na direção do vetor normal
são paralelas a um plano fixo.