Seja alpha: I R^3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. Prove que alpha é uma hélice se, e só se, forall s in I, as retas que passam por alpha(s), na direção de n(s), são paralelas a um plano fixo.

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre curvas no espaço tridimensional, especificamente sobre curvas chamadas hélices. O objetivo é provar que uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco, é uma hélice se, e somente se, para todo ponto da curva, as retas na direção do vetor normal são paralelas a um plano fixo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria diferencial, como o quadro de Frenet (que envolve os vetores tangente, normal e binormal) e as propriedades das hélices.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma hélice. Uma hélice é uma curva que tem curvatura constante e a torsão também constante. Isso significa que, ao percorrer a curva, a direção do vetor normal e do vetor binormal muda de maneira uniforme.

Passo 3

Como a curva é parametrizada pelo comprimento de arco, sabemos que a derivada da posição em relação ao parâmetro T(s) = alpha'(s) nos dá o vetor tangente :
Esse vetor tangente tem comprimento 1.

Passo 4

O próximo passo é considerar o vetor normal N(s) = T'(s)|T'(s)| , que aponta na direção da alteração de B(s) = T(s) times N(s) :
E o vetor binormal é dado pelo produto vetorial de e :

Passo 5

Agora, uma hélice possui a propriedade de que o vetor binormal faz um ângulo constante com um vetor fixo no espaço. Isso implica que o vetor normal está sempre contido em um plano fixo, pois a direção de muda de forma linear.

Passo 6

A condição dada na questão diz que as retas na direção de são paralelas a um plano fixo. Isso significa que o vetor não varia sua orientação em relação a esse plano, mantendo assim uma direção constante ou rotacionando de maneira uniforme.

Passo 7

Se está sempre paralelo a um plano fixo, então a torsão da curva deve ser constante. Isso é uma característica das hélices, já que tanto a curvatura quanto a torsão são constantes.

Passo 8

Portanto, se para todo , as retas na direção de são paralelas a um plano fixo, a curva deve ser uma hélice porque satisfaz as condições de curvatura e torsão constantes.

Resposta

Assim, provamos que a curva é uma hélice se, e somente se, para todo no domínio, as retas na direção do vetor normal são paralelas a um plano fixo.

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