Verifique que as curvas
, são hélices.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a curva definida por
, onde
é qualquer número real, é uma hélice. Para isso, vamos precisar entender o que é uma hélice e quais características uma curva deve ter para ser considerada assim.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma hélice. Uma hélice é uma curva que dá uma volta constante ao redor de uma linha reta, chamada de eixo da hélice, enquanto avança em uma direção perpendicular a esse eixo. Um exemplo clássico é a espiral de uma escada em caracol.
Matematicamente, uma hélice pode ser caracterizada por ter a sua velocidade vetorial (a derivada primeira) e a sua aceleração vetorial (a derivada segunda) constantes em módulo e fazendo um ângulo constante entre si. Isso implica que a direção da aceleração não muda em relação à direção da velocidade.
Passo 3
Vamos derivar a função
para encontrar a velocidade e a aceleração da curva.
Primeiro, calculamos a primeira derivada, que representa a velocidade:
Em seguida, calculamos a segunda derivada, que representa a aceleração:
Passo 4
Agora, vamos analisar se a aceleração está constantemente inclinada em relação à velocidade. Para isso, vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Para que a curva seja uma hélice, o ângulo entre
e
deve ser constante, ou seja, o quociente entre o produto escalar e os módulos das derivadas deve ser constante:
Vamos calcular os módulos:
Substituindo na expressão do cosseno:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para ver se o cosseno do ângulo realmente é constante.
Observando o denominador:
E o outro termo do denominador:
No entanto, isso não simplifica de maneira que o cosseno seja uma constante. Portanto, o ângulo entre a velocidade e a aceleração não é constante ao longo da curva.
Resposta
Após analisar as derivadas da curva
, concluímos que o ângulo entre a velocidade e a aceleração não é constante. Portanto, a curva não é uma hélice.