Verifique que as curvas alpha(t)=(e^t, e^-t, raiz2 t), t in R, são hélices.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a curva definida por alpha(t) = (e^t, e^-t, raiz2 t), onde t é qualquer número real, é uma hélice. Para isso, vamos precisar entender o que é uma hélice e quais características uma curva deve ter para ser considerada assim.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma hélice. Uma hélice é uma curva que dá uma volta constante ao redor de uma linha reta, chamada de eixo da hélice, enquanto avança em uma direção perpendicular a esse eixo. Um exemplo clássico é a espiral de uma escada em caracol.
Matematicamente, uma hélice pode ser caracterizada por ter a sua velocidade vetorial (a derivada primeira) e a sua aceleração vetorial (a derivada segunda) constantes em módulo e fazendo um ângulo constante entre si. Isso implica que a direção da aceleração não muda em relação à direção da velocidade.

Passo 3

Vamos derivar a função alpha(t) para encontrar a velocidade e a aceleração da curva.
Primeiro, calculamos a primeira derivada, que representa a velocidade:
alpha'(t) = (ddte^t, ddte^-t, ddtraiz2 t) = (e^t, -e^-t, raiz2)
Em seguida, calculamos a segunda derivada, que representa a aceleração:
alpha''(t) = (ddte^t, ddt(-e^-t), ddtraiz2) = (e^t, e^-t, 0)

Passo 4

Agora, vamos analisar se a aceleração está constantemente inclinada em relação à velocidade. Para isso, vamos calcular o produto escalar entre alpha'(t) e alpha''(t):
alpha'(t) cdot alpha''(t) = e^t cdot e^t + (-e^-t) cdot e^-t + raiz2 cdot 0 = e^2t - e^-2t + 0 = e^2t - e^-2t
Para que a curva seja uma hélice, o ângulo entre alpha'(t) e alpha''(t) deve ser constante, ou seja, o quociente entre o produto escalar e os módulos das derivadas deve ser constante:
cos(theta) = alpha'(t) cdot alpha''(t)|alpha'(t)| cdot |alpha''(t)|
Vamos calcular os módulos:
|alpha'(t)| = raiz(e^t)^2 + (-e^-t)^2 + (raiz2)^2 = raize^2t + e^-2t + 2
|alpha''(t)| = raiz(e^t)^2 + (e^-t)^2 + 0^2 = raize^2t + e^-2t
Substituindo na expressão do cosseno:
cos(theta) = e^2t - e^-2traize^2t + e^-2t + 2 cdot raize^2t + e^-2t

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para ver se o cosseno do ângulo realmente é constante.
Observando o denominador:
raize^2t + e^-2t + 2 = raiz(e^t + e^-t)^2 = e^t + e^-t
E o outro termo do denominador:
raize^2t + e^-2t = raiz(e^t - e^-t)^2 + 4
No entanto, isso não simplifica de maneira que o cosseno seja uma constante. Portanto, o ângulo entre a velocidade e a aceleração não é constante ao longo da curva.

Resposta

Após analisar as derivadas da curva alpha(t) = (e^t, e^-t, raiz2 t), concluímos que o ângulo entre a velocidade e a aceleração não é constante. Portanto, a curva não é uma hélice.

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