Prove que se A é um anel qualquer então \forall x, y e z \in A são válidas as propriedades:
(g) (-1) \cdot(-1)=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em qualquer anel A com identidade 1, que vale a propriedade
(-1)\cdot(-1)=1.
Vamos usar os axiomas de anel: existência de identidade aditiva 0, inverso aditivo de cada elemento (denotado -x), identidade multiplicativa 1 e distributividade.

Passo 2

Pela definição de inverso aditivo, temos
1 + (-1) = 0.

Passo 3

Multiplicamos essa igualdade à esquerda por -1:
(-1)\cdot\bigl(1 + (-1)\bigr) \;=\; (-1)\cdot 0.

Passo 4

Usando a distributividade e o fato de (-1)\cdot 0 = 0,
(-1)\cdot 1 \;+\; (-1)\cdot(-1) \;=\; 0.
Mas (-1)\cdot 1 = -1, pois 1 é identidade multiplicativa. Logo
-1 + \bigl((-1)\cdot(-1)\bigr) = 0.

Passo 5

Da equação -1 + u = 0 segue que u é o inverso aditivo de -1. Assim
(-1)\cdot(-1) = -(-1).

Passo 6

Finalmente, pelo axioma de anel, o inverso aditivo de -1 é 1, ou seja -(-1)=1. Portanto
(-1)\cdot(-1)=1.

Resposta

(-1)\cdot(-1)=1.

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