Prove que se A é um anel qualquer então \forall x, y e z \in A são válidas as propriedades:
(a) 0 \cdot x=x \cdot 0=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, em qualquer anel A, que o elemento neutro aditivo 0 anula qualquer x\in A, isto é,
0\cdot x = x\cdot 0 = 0.
Vamos usar as propriedades de anel: existência de 0 como elemento neutro aditivo, inverso aditivo de cada elemento e distributividade da multiplicação sobre a adição.

Passo 2

Para provar \,0\cdot x=0, observamos que 0+0=0. Aplicando distributividade à esquerda, temos
(0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x.
Como 0+0=0, a igualdade vira
0\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x.
Agora somamos o inverso aditivo de 0\cdot x em ambos os lados:
0\cdot x + \bigl(-(0\cdot x)\bigr) = \bigl(0\cdot x + 0\cdot x\bigr) + \bigl(-(0\cdot x)\bigr).
No lado esquerdo fica 0, e no direito sobra 0\cdot x. Logo
0 = 0\cdot x,
ou seja,
0\cdot x = 0.

Passo 3

Para mostrar x\cdot 0=0, usamos a distributividade pela direita. Como 0+0=0,
x\cdot(0+0) = x\cdot 0 + x\cdot 0.
O lado esquerdo é x\cdot 0, então
x\cdot 0 = x\cdot 0 + x\cdot 0.
Somando o inverso aditivo de x\cdot 0 em ambos os lados, obtemos
0 = x\cdot 0,
ou seja,
x\cdot 0 = 0.

Resposta

0\cdot x = x\cdot 0 = 0.

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