Prove que se
é um anel qualquer então
e
são válidas as propriedades:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, em qualquer anel
, que o elemento neutro aditivo
anula qualquer
, isto é,
Vamos usar as propriedades de anel: existência de
como elemento neutro aditivo, inverso aditivo de cada elemento e distributividade da multiplicação sobre a adição.
Passo 2
Para provar
, observamos que
. Aplicando distributividade à esquerda, temos
Como
, a igualdade vira
Agora somamos o inverso aditivo de
em ambos os lados:
No lado esquerdo fica
, e no direito sobra
. Logo
ou seja,
Passo 3
Para mostrar
, usamos a distributividade pela direita. Como
,
O lado esquerdo é
, então
Somando o inverso aditivo de
em ambos os lados, obtemos
ou seja,