Quais das proposições abaixo são verdadeiras?
a) 3 in R
d) 12 in R-Q
g) (raiz2-3 raiz3) in R-Q
b) N subset R
e) raiz4 in R-Q
h) 3 raiz2raiz5 in R-Q
c) Z subset R
f) raiz[3]4 in R-Q
i) 3 raiz25 raiz2 in Q

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido. Temos várias proposições que envolvem conjuntos numéricos, como os números reais ( R), racionais ( Q), naturais ( N), e inteiros ( Z). Nosso objetivo é determinar quais dessas proposições são verdadeiras. Para isso, vamos precisar saber as definições desses conjuntos e as diferenças entre eles.

Passo 2

Vamos analisar a proposição a) 3 in R. Isso significa que o número 3 pertence ao conjunto dos números reais. Sabemos que R inclui todos os números que podemos representar na reta numérica, incluindo inteiros, racionais e irracionais. Então, 3 é um número inteiro e, portanto, pertence a R. Portanto, a proposição a) é verdadeira.

Passo 3

Agora, a proposição d) 12 in R-Q. Aqui, R-Q representa os números reais que não são racionais, ou seja, os números irracionais. A fração 12 é um número racional, pois pode ser expresso como a razão de dois inteiros. Assim, 12 pertence a Q, não a R-Q. Portanto, a proposição d) é falsa.

Passo 4

Vamos para a proposição g) (raiz2-3 raiz3) in R-Q. Temos uma combinação de números irracionais: raiz2 e raiz3. A soma ou subtração de números irracionais pode ser racional ou irracional, mas neste caso específico, é sabido que raiz2-3raiz3 é irracional. Portanto, pertence a R-Q. Assim, a proposição g) é verdadeira.

Passo 5

Analisando a proposição b) N subset R. Aqui, N são os números naturais (1, 2, 3, …) e subset significa “é subconjunto de”. Sabemos que todos os números naturais são também reais, pois N subset R. Portanto, a proposição b) é verdadeira.

Passo 6

A proposição e) raiz4 in R-Q. Sabemos que raiz4 = 2, que é um número inteiro e racional, pois pode ser expresso como a razão 2/1. Logo, raiz4 pertence a Q e não a R-Q. Portanto, a proposição e) é falsa.

Passo 7

Vamos para a proposição h) 3 raiz2raiz5 in R-Q. Aqui temos a divisão de dois números irracionais. O resultado 3 raiz2raiz5 é também irracional, pois não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros. Portanto, pertence a R-Q. Assim, a proposição h) é verdadeira.

Passo 8

Analisando a proposição c) Z subset R. Z são os números inteiros (…, -2, -1, 0, 1, 2, …) e, como todos os inteiros são também reais, temos que Z subset R. Portanto, a proposição c) é verdadeira.

Passo 9

Por fim, a proposição f) raiz[3]4 in R-Q. A raiz cúbica de 4, raiz[3]4, é um número irracional, pois não pode ser expresso como a fração de dois inteiros. Portanto, pertence a R-Q. Assim, a proposição f) é verdadeira.

Passo 10

Por último, a proposição i) 3 raiz25 raiz2 in Q. Podemos simplificar essa fração: 3 raiz25 raiz2 = 35, que é um número racional, pois é a razão de dois inteiros. Portanto, a proposição i) é verdadeira.

Resposta

As proposições verdadeiras são: a), b), c), f), g), h) e i).

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