Quais das proposições abaixo são verdadeiras?
a)
d)
g)
b)
e)
h)
c)
f)
i)
a)
d)
g)
b)
e)
h)
c)
f)
i)
Passo 1
Vamos entender o que foi pedido. Temos várias proposições que envolvem conjuntos numéricos, como os números reais (
), racionais (
), naturais (
), e inteiros (
). Nosso objetivo é determinar quais dessas proposições são verdadeiras. Para isso, vamos precisar saber as definições desses conjuntos e as diferenças entre eles.
Passo 2
Vamos analisar a proposição a)
. Isso significa que o número 3 pertence ao conjunto dos números reais. Sabemos que
inclui todos os números que podemos representar na reta numérica, incluindo inteiros, racionais e irracionais. Então, 3 é um número inteiro e, portanto, pertence a
. Portanto, a proposição a) é verdadeira.
Passo 3
Agora, a proposição d)
. Aqui,
representa os números reais que não são racionais, ou seja, os números irracionais. A fração
é um número racional, pois pode ser expresso como a razão de dois inteiros. Assim,
pertence a
, não a
. Portanto, a proposição d) é falsa.
Passo 4
Vamos para a proposição g)
. Temos uma combinação de números irracionais:
e
. A soma ou subtração de números irracionais pode ser racional ou irracional, mas neste caso específico, é sabido que
é irracional. Portanto, pertence a
. Assim, a proposição g) é verdadeira.
Passo 5
Analisando a proposição b)
. Aqui,
são os números naturais (1, 2, 3, …) e
significa “é subconjunto de”. Sabemos que todos os números naturais são também reais, pois
. Portanto, a proposição b) é verdadeira.
Passo 6
A proposição e)
. Sabemos que
, que é um número inteiro e racional, pois pode ser expresso como a razão 2/1. Logo,
pertence a
e não a
. Portanto, a proposição e) é falsa.
Passo 7
Vamos para a proposição h)
. Aqui temos a divisão de dois números irracionais. O resultado
é também irracional, pois não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros. Portanto, pertence a
. Assim, a proposição h) é verdadeira.
Passo 8
Analisando a proposição c)
.
são os números inteiros (…, -2, -1, 0, 1, 2, …) e, como todos os inteiros são também reais, temos que
. Portanto, a proposição c) é verdadeira.
Passo 9
Por fim, a proposição f)
. A raiz cúbica de 4,
, é um número irracional, pois não pode ser expresso como a fração de dois inteiros. Portanto, pertence a
. Assim, a proposição f) é verdadeira.
Passo 10
Por último, a proposição i)
. Podemos simplificar essa fração:
, que é um número racional, pois é a razão de dois inteiros. Portanto, a proposição i) é verdadeira.
Resposta
As proposições verdadeiras são: a), b), c), f), g), h) e i).