1. Seja
A=\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right)
Determine uma base em que A seja diagonal (se possível).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}
e pede: “Determine uma base em que A seja diagonal (se possível).”
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é 2\times2 e tem entradas explícitas mostradas acima.
  • A tarefa é encontrar uma base de \mathbb{R}^2 formada por vetores em que a matriz de A seja diagonal (isto é, encontrar vetores que transformem A em uma matriz diagonal por mudança de base).]

Passo 2

O que significa “base em que A seja diagonal”?
Significa encontrar um conjunto de dois vetores linearmente independentes v_1,v_2 tal que a matriz de A nessa base seja diagonal. Na prática, isso equivale a encontrar dois autovetores (vetores próprios) de A associados a autovalores (valores próprios) \lambda_1,\lambda_2. Então o próximo passo é achar os autovalores de A.
Recordando a definição e a fórmula que vamos usar:
  • Um número \lambda é autovalor de A se existe v\neq 0 tal que A v = \lambda v.
  • Os autovalores aparecem como soluções da equação característica \det(A-\lambda I)=0, onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos construir A-\lambda I e calcular seu determinante:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[4pt]1 & 3-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(3-\lambda)-1\cdot1.
Expandindo:
(2-\lambda)(3-\lambda)-1 = (6 -2\lambda -3\lambda +\lambda^2)-1 = \lambda^2 -5\lambda +5.
A equação característica é
\lambda^2 -5\lambda +5 = 0.]

Passo 4

Resolvendo a quadratic acima usando a fórmula de Bhaskara:
\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 -4\cdot1\cdot5}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{25-20}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}.
Portanto os dois autovalores são
\lambda_1 = \frac{5+\sqrt{5}}{2},\qquad \lambda_2 = \frac{5-\sqrt{5}}{2}.

Passo 5

Agora vamos achar um autovetor associado a \lambda_1. Resolvemos (A-\lambda_1 I)v=0.
As equações são
(2-\lambda_1)x + 1\cdot y = 0, \qquad 1\cdot x + (3-\lambda_1)y = 0.
Essas duas equações são equivalentes (como deve ser). Usando a primeira:
y = (\lambda_1 - 2)\,x.
Tomando x=1 (escolha de parâmetro), obtemos um autovetor correspondente:
v_1 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda_1 - 2\end{pmatrix}.
Calculemos \lambda_1 - 2:
\lambda_1 - 2 = \frac{5+\sqrt{5}}{2}-2 = \frac{5+\sqrt{5}-4}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.
Logo um autovetor associado a \lambda_1 é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora um autovetor associado a \lambda_2. Analogamente:
y = (\lambda_2 - 2)\,x.
Tomando x=1,
v_2 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda_2 - 2\end{pmatrix}.
Calculemos \lambda_2 - 2:
\lambda_2 - 2 = \frac{5-\sqrt{5}}{2}-2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}.
Portanto
v_2 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verifiquemos que v_1 e v_2 são linearmente independentes (para garantir que formam base) e, curiosamente por A ser simétrica, devem ser ortogonais. Vamos calcular o produto escalar:
v_1\cdot v_2 = 1\cdot1 + \frac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{1-\sqrt{5}}{2}.
Calcule o segundo termo:
\frac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{1-\sqrt{5}}{2} = \frac{1-(\sqrt{5})^2}{4} = \frac{1-5}{4} = -\frac{4}{4} = -1.
Logo
v_1\cdot v_2 = 1 + (-1) = 0.
Portanto v_1 e v_2 são ortogonais e, em particular, linearmente independentes; formam uma base de \mathbb{R}^2. Isso garante que A é diagonalizável e que, na base \{v_1,v_2\}, a matriz é diagonal com entradas \lambda_1,\lambda_2.

Passo 8

Podemos também construir uma base ortonormal (útil se quisermos escrever A = Q D Q^{T} com Q ortogonal). Para isso normalizamos v_1 e v_2.
Calculando as normas:
\|v_1\|^2 = 1^2 + \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2 = 1 + \frac{(1+\sqrt{5})^2}{4} = 1 + \frac{1+2\sqrt{5}+5}{4} = 1 + \frac{6+2\sqrt{5}}{4} = 1 + \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{5+\sqrt{5}}{2} = \lambda_1.
Portanto \|v_1\|=\sqrt{\lambda_1}. Similarmente
\|v_2\|^2 = \frac{5-\sqrt{5}}{2} = \lambda_2,
logo \|v_2\|=\sqrt{\lambda_2}.
As direções normalizadas são
u_1 = \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} \begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}, \qquad u_2 = \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} \begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix},
e \{u_1,u_2\} é uma base ortonormal que diagonaliza A via A = Q D Q^{T} com Q=[u_1\\ u_2] e D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2).]

Resposta

\displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}\right\}
\displaystyle \text{(Base ortonormal obtida ao normalizar: }\left\{\frac{1}{\sqrt{\lambda_1}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix},\ \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}\right\}\text{)}\]

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