Determine uma base em que A seja diagonal (se possível).
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}
e pede: “Determine uma base em que A seja diagonal (se possível).”
Informações relevantes fornecidas:
A matriz A é 2\times2 e tem entradas explícitas mostradas acima.
A tarefa é encontrar uma base de \mathbb{R}^2 formada por vetores em que a matriz de A seja diagonal (isto é, encontrar vetores que transformem A em uma matriz diagonal por mudança de base).]
Passo 2
O que significa “base em que A seja diagonal”?
Significa encontrar um conjunto de dois vetores linearmente independentes v_1,v_2 tal que a matriz de A nessa base seja diagonal. Na prática, isso equivale a encontrar dois autovetores (vetores próprios) de A associados a autovalores (valores próprios) \lambda_1,\lambda_2. Então o próximo passo é achar os autovalores de A.
Recordando a definição e a fórmula que vamos usar:
Um número \lambda é autovalor de A se existe v\neq 0 tal que A v = \lambda v.
Os autovalores aparecem como soluções da equação característica \det(A-\lambda I)=0, onde I é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos construir A-\lambda I e calcular seu determinante:
Verifiquemos que v_1 e v_2 são linearmente independentes (para garantir que formam base) e, curiosamente por A ser simétrica, devem ser ortogonais. Vamos calcular o produto escalar:
Portanto v_1 e v_2 são ortogonais e, em particular, linearmente independentes; formam uma base de \mathbb{R}^2. Isso garante que A é diagonalizável e que, na base \{v_1,v_2\}, a matriz é diagonal com entradas \lambda_1,\lambda_2.
Passo 8
Podemos também construir uma base ortonormal (útil se quisermos escrever A = Q D Q^{T} com Q ortogonal). Para isso normalizamos v_1 e v_2.