Prove:
a) (B-A) \cdot(D-C)+(C-B) \cdot(D-A)+(D-B) \cdot(A-C)=0.
b) Utilizando o item anterior, provar que as alturas de um triângulo passam por um ponto.

Passo 1

O enunciado é em duas partes. Na parte (a) pede-se provar a identidade vetorial
(B-A)\cdot(D-C)\;+\;(C-B)\cdot(D-A)\;+\;(D-B)\cdot(A-C)\;=\;0,
usando propriedades do produto interno. Na parte (b) vamos aplicar essa identidade para mostrar que, em um triângulo ABC, as alturas que caem de A, de B e de C concorrem num mesmo ponto (ortocentro). Para isso precisamos do fato de que dois vetores são perpendiculares se, e somente se, seu produto interno é zero.

Passo 2

Prova da identidade
(B-A)\cdot(D-C)+(C-B)\cdot(D-A)+(D-B)\cdot(A-C)=0.
Usamos a expansão
(X-Y)\cdot(Z-W)=X\cdot Z - X\cdot W - Y\cdot Z + Y\cdot W
em cada termo:
  1. (B-A)\cdot(D-C)=B\cdot D - B\cdot C - A\cdot D + A\cdot C.
  2. (C-B)\cdot(D-A)=C\cdot D - C\cdot A - B\cdot D + B\cdot A.
  3. (D-B)\cdot(A-C)=D\cdot A - D\cdot C - B\cdot A + B\cdot C. Somando 1+2+3, cada um dos termos B\cdot D, -B\cdot C, -A\cdot D, A\cdot C, etc., aparece com sinal contrário em outra parcela, e tudo se cancela, restando zero. Logo a soma é zero, provando a parte (a).

Passo 3

Agora prova da concorrência das alturas de um triângulo ABC. Seja D o ponto de interseção da altura de A com a altura de B. Por definição:
\overrightarrow{AD}\perp BC\quad\Longrightarrow\quad(D-A)\cdot(B-C)=0,
\overrightarrow{BD}\perp CA\quad\Longrightarrow\quad(D-B)\cdot(C-A)=0.
Aplicando a identidade da parte (a), temos
0 =(B-A)\cdot(D-C)+(C-B)\cdot(D-A)+(D-B)\cdot(A-C).
Mas sabemos que (C-B)\cdot(D-A)=0 e (D-B)\cdot(A-C)=0. Logo
(B-A)\cdot(D-C)=0,
o que significa \overrightarrow{CD}\perp AB. Ou seja, a reta por C perpendicular a AB também passa por D. Concluímos que as três alturas concorrem em D.

Resposta

a) A identidade é obtida ao expandir cada produto interno e cancelar termos.
b) Se duas alturas de ABC se cortam em D, então os dois primeiros produtos internos são zero; pela identidade da parte (a) segue que o terceiro também é zero, mostrando que a altura de C também passa por D. Portanto, as três alturas são concorrentes.

Exercícios relacionados