Prove que se \vec{u}+\vec{v} e \vec{u}-\vec{v} têm o mesmo comprimento, então \vec{u} e \vec{v} são ortogonais.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois vetores \vec{u} e \vec{v} em um espaço com produto escalar, e que
\|\vec{u} + \vec{v}\| \;=\;\|\vec{u} - \vec{v}\|.
Queremos provar que \vec{u} e \vec{v} são ortogonais, ou seja, que
\vec{u}\cdot\vec{v} = 0.
Para isso, vamos usar a relação entre norma e produto escalar: \|\vec{w}\|^2 = \vec{w}\cdot\vec{w}.

Passo 2

Da igualdade dos comprimentos segue a igualdade dos seus quadrados, isto é,
\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 \;=\;\|\vec{u} - \vec{v}\|^2.

Passo 3

Expandindo cada lado pelo produto escalar, temos
\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = (\vec{u} + \vec{v})\cdot(\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u}\cdot\vec{u} \;+\;2\,\vec{u}\cdot\vec{v}\;+\;\vec{v}\cdot\vec{v},
\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = (\vec{u} - \vec{v})\cdot(\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u}\cdot\vec{u} \;-\;2\,\vec{u}\cdot\vec{v}\;+\;\vec{v}\cdot\vec{v}.

Passo 4

Igualando as duas expressões:
\vec{u}\cdot\vec{u} + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{v}\cdot\vec{v} \;=\; \vec{u}\cdot\vec{u} - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{v}\cdot\vec{v},
as parcelas \vec{u}\cdot\vec{u} e \vec{v}\cdot\vec{v} cancelam, sobrando
2\,\vec{u}\cdot\vec{v} = -\,2\,\vec{u}\cdot\vec{v} \quad\Longrightarrow\quad 4\,\vec{u}\cdot\vec{v} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec{u}\cdot\vec{v} = 0.

Passo 5

Como o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} vale zero, concluímos que \vec{u} e \vec{v} são ortogonais.

Resposta

Demonstra-se que \vec{u}\cdot\vec{v}=0, logo \vec{u} e \vec{v} são ortogonais.

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