Dados os vetores \vec{u}=2 \vec{i}-3 \vec{j}+2 \vec{k} e \vec{v}=4 \vec{i}-\vec{j}+2 \vec{k}.
a) Calcular \vec{u} \wedge \vec{v}
b) Calcular o seno do ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=2\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k} e \vec{v}=4\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}
e pede:
a) o produto vetorial \vec{u}\wedge\vec{v},
b) o seno do ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
Para resolver, vamos usar a definição de produto vetorial em coordenadas e a relação
\|\vec{u}\wedge\vec{v}\| = \|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\;\bigl|\sin\theta\bigr|.

Passo 2

Calcular \vec{u}\wedge\vec{v} pelo determinante
\vec{u}\wedge\vec{v} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\\ 2&-3&2\\\\ 4&-1&2 \end{vmatrix} =\vec{i}\bigl((-3)\cdot2 - 2\cdot(-1)\bigr) -\vec{j}\bigl(2\cdot2 - 2\cdot4\bigr) +\vec{k}\bigl(2\cdot(-1)-(-3)\cdot4\bigr).
Calculando cada co-fator:
(-3)\cdot2 - 2\cdot(-1) = -6 + 2 = -4, \quad 2\cdot2 - 2\cdot4 = 4 - 8 = -4, \quad 2\cdot(-1)-(-3)\cdot4 = -2 +12 = 10.
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\vec{u}\wedge\vec{v} = -4\,\vec{i} -(-4)\,\vec{j} +10\,\vec{k} = -4\vec{i} +4\vec{j} +10\vec{k}.

Passo 3

Calcular as normas de \vec{u}, \vec{v} e \vec{u}\wedge\vec{v}:
\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 +2^2} = \sqrt{4+9+4} = \sqrt{17},
\|\vec{v}\| = \sqrt{4^2 +(-1)^2 +2^2} = \sqrt{16+1+4} = \sqrt{21},
\|\vec{u}\wedge\vec{v}\| = \sqrt{(-4)^2 +4^2 +10^2} = \sqrt{16+16+100} = \sqrt{132} = 2\sqrt{33}.

Passo 4

Usar a relação \|\vec{u}\wedge\vec{v}\| = \|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\;\bigl|\sin\theta\bigr| e isolar \sin\theta:
\sin\theta = \frac{\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|} = \frac{2\sqrt{33}}{\sqrt{17}\,\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{11}}{\sqrt{119}}.

Resposta

a) \vec{u}\wedge\vec{v} = -4\vec{i} +4\vec{j} +10\vec{k}
b) \displaystyle \sin\theta = \frac{2\sqrt{11}}{\sqrt{119}}

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