Sendo \vec{u}=\vec{i}+\vec{j}, \vec{v}=2 \vec{i}-\vec{j}+3 \vec{k} e \vec{w}=2 \vec{j}-\vec{k}, calcular a área do triângulo A B C e o volume do tetraedro A B C D, onde B=A+\vec{u}, C=A+\vec{v} e D=A+\vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,1,0), \vec{v}=(2,-1,3) e \vec{w}=(0,2,-1) e define os pontos B=A+\vec{u}, C=A+\vec{v}, D=A+\vec{w}.
Para a área do triângulo ABC vamos usar que
\text{área}(ABC)=\frac12\bigl\|\vec{u}\times\vec{v}\bigr\|.á
Para o volume do tetraedro ABCD usamos o produto misto:
\text{vol}(ABCD)=\frac16\bigl|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\bigr|.

Passo 2

Calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}:
\vec{u}\times\vec{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&1&0\\\\ 2&-1&3 \end{vmatrix} =3\,\mathbf{i}-3\,\mathbf{j}-3\,\mathbf{k} =(3,-3,-3).
O módulo é
\bigl\|\vec{u}\times\vec{v}\bigr\| =\sqrt{3^2+(-3)^2+(-3)^2} =\sqrt{27} =3\sqrt{3}.
Logo a área do triângulo é
\text{área}(ABC) =\frac12\bigl\|\vec{u}\times\vec{v}\bigr\| =\frac12\cdot3\sqrt{3} =\frac{3\sqrt{3}}{2}.á

Passo 3

Calcular o produto misto \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). Primeiro
\vec{v}\times\vec{w} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 2&-1&3\\\\ 0&2&-1 \end{vmatrix} =-5\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k} =(-5,2,4).
Então
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) =(1,1,0)\cdot(-5,2,4) =-5+2+0 =-3.
O valor absoluto é 3, e o volume do tetraedro é
\text{vol}(ABCD) =\frac16\bigl|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\bigr| =\frac16\cdot3 =\frac12.

Resposta

A área do triângulo ABC é \tfrac{3\sqrt{3}}{2} e o volume do tetraedro ABCD é \tfrac12.

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