Para demonstrar pelo método contrapositivo que Para todo n inteiro, se n é par, então n^2 é par, devemos:
a) Assumir que n^2 é ímpar e mostrar que n é ímpar
b) Assumir que n é ímpar e mostrar que n^2 é ímpar
c) Assumir que n é par e n^2 é émpar e mostrar que isso leva a contradição
d) Assumir que n^2 é ímpar e mostrar que isso leva a contradição
e) Mostrar que o quadrado de um número par é sempre um número par

Passo 1

Vamos resolver um exercício de lógica matemática que envolve o método do contrapositivo. O enunciado pede para identificar qual das opções apresenta a forma correta de demonstrar que, para todo número inteiro , se é par, então também é par. Para isso, vamos precisar entender o que é uma prova por contrapositivo e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um número ser par. Um número inteiro é par se existe um inteiro tal que . Por outro lado, é ímpar se não pode ser expresso dessa forma, ou seja, para algum inteiro .

Passo 3

A prova por contrapositivo é uma técnica na qual, para provar uma implicação "Se , então ", mostramos que "Se , então ". Isso é logicamente equivalente à afirmação original.

Passo 4

No nosso caso, queremos provar que “Se é par, então é par”. Vamos aplicar o contrapositivo:
  • Afirmação original (P → Q): Se é par, então é par.
  • Contrapositivo (¬Q → ¬P): Se não é par (ou seja, é ímpar), então não é par (é ímpar).

Passo 5

Agora, vamos analisar as opções para ver qual delas corresponde a essa abordagem de contrapositivo:
  • a) Assumir que é ímpar e mostrar que é ímpar.
  • b) Assumir que é ímpar e mostrar que é ímpar.
  • c) Assumir que é par e é ímpar e mostrar que isso leva a contradição.
  • d) Assumir que é ímpar e mostrar que isso leva a contradição.
  • e) Mostrar que o quadrado de um número par é sempre um número par.

Passo 6

A opção que corresponde exatamente ao método do contrapositivo é a opção a, onde assumimos que é ímpar ( ) e mostramos que isso implica que é ímpar ( ).

Resposta

A opção correta é a letra a).

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