Para demonstrar pelo método contrapositivo que Para todo
inteiro, se
é par, então
é par, devemos:
a) Assumir que
é ímpar e mostrar que
é ímpar
b) Assumir que
é ímpar e mostrar que
é ímpar
c) Assumir que
é par e
é émpar e mostrar que isso leva a contradição
d) Assumir que
é ímpar e mostrar que isso leva a contradição
e) Mostrar que o quadrado de um número par é sempre um número par
a) Assumir que
b) Assumir que
c) Assumir que
d) Assumir que
e) Mostrar que o quadrado de um número par é sempre um número par
Passo 1
Vamos resolver um exercício de lógica matemática que envolve o método do contrapositivo. O enunciado pede para identificar qual das opções apresenta a forma correta de demonstrar que, para todo número inteiro
, se
é par, então
também é par. Para isso, vamos precisar entender o que é uma prova por contrapositivo e como aplicá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um número ser par. Um número inteiro
é par se existe um inteiro
tal que
. Por outro lado,
é ímpar se não pode ser expresso dessa forma, ou seja,
para algum inteiro
.
Passo 3
A prova por contrapositivo é uma técnica na qual, para provar uma implicação "Se
, então
", mostramos que "Se
, então
". Isso é logicamente equivalente à afirmação original.
Passo 4
No nosso caso, queremos provar que “Se
é par, então
é par”. Vamos aplicar o contrapositivo:
- Afirmação original (P → Q): Se
é par, então é par. - Contrapositivo (¬Q → ¬P): Se
não é par (ou seja, é ímpar), então não é par (é ímpar).
Passo 5
Agora, vamos analisar as opções para ver qual delas corresponde a essa abordagem de contrapositivo:
- a) Assumir que
é ímpar e mostrar que é ímpar. - b) Assumir que
é ímpar e mostrar que é ímpar. - c) Assumir que
é par e é ímpar e mostrar que isso leva a contradição. - d) Assumir que
é ímpar e mostrar que isso leva a contradição. - e) Mostrar que o quadrado de um número par é sempre um número par.
Passo 6
A opção que corresponde exatamente ao método do contrapositivo é a opção a, onde assumimos que
é ímpar (
) e mostramos que isso implica que
é ímpar (
).
Resposta
A opção correta é a letra a).