Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0.
\mathbf{R}(t)=t \mathbf{i}+\operatorname{cosh} t \mathbf{j}; de t=0 a t=\mathbf{3}.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por \mathbf{R}(t)=t\,\mathbf{i}+\operatorname{cosh} t\,\mathbf{j}
no intervalo 0\le t\le3. Vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma curva no plano:
L=\int_{t_1}^{t_2}\bigl\|\mathbf{R}'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada vetorial:
\mathbf{R}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t,\operatorname{cosh} t\bigr) =(1,\operatorname{sinh} t)
ou seja \mathbf{R}'(t)=\mathbf{i}+\operatorname{sinh} t\,\mathbf{j}.

Passo 3

Determinamos a norma de \mathbf{R}'(t):
\bigl\|\mathbf{R}'(t)\bigr\| =\sqrt{1^2+(\operatorname{sinh} t)^2} =\sqrt{1+\operatorname{sinh}^2t} =\operatorname{cosh} t,
pois \operatorname{cosh} t>0 para todo t.

Passo 4

Substituímos na integral de comprimento:
L=\int_{0}^{3}\operatorname{cosh} t\,dt.
Sabemos que \int\operatorname{cosh} t\,dt=\operatorname{sinh} t.

Passo 5

Avaliamo-la entre 0 e 3:
L=\bigl[\operatorname{sinh} t\bigr]_{0}^{3} =\operatorname{sinh}(3)-\operatorname{sinh}(0) =\operatorname{sinh}(3)-0 =\operatorname{sinh}(3).

Resposta

\operatorname{sinh}(3)

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