Prove que se a, b \in \mathbb{Z} e \exists r, s \in \mathbb{Z} tais que r a+s b=1 então M.D.C. \{a, b\}=1.

Passo 1

O enunciado diz que, dados a,b\in\mathbb{Z} e r,s\in\mathbb{Z} tais que
r\,a + s\,b = 1,
precisamos provar que \mathrm{M.D.C.}(a,b)=1.
O conteúdo envolvido é a noção de divisor comum, a propriedade de que “se d\mid a e d\mid b então d divide qualquer combinação linear r\,a + s\,b”, e a definição de máximo divisor comum como o maior inteiro positivo que divide ambos os números.

Passo 2

Seja d um divisor comum de a e b. Logo
d \mid a \quad\text{e}\quad d \mid b.
Pela propriedade das combinações lineares, d também divide
r\,a + s\,b.
Mas sabemos que
r\,a + s\,b = 1,
então d \mid 1.

Passo 3

Os únicos divisores inteiros de 1 são 1 e -1. Como a definição de máximo divisor comum toma o maior divisor positivo, concluímos que o único divisor comum positivo de a e b é 1.

Resposta

\mathrm{M.D.C.}(a,b)=1

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