Exercício 3.35 Mostre que o conjunto
\gamma=\{(1,0,0,-1),(0,1,0,1),(0,0,1,1),(1,0,0,1)\}
é linearmente independente no espaço vetorial real \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
\gamma = \{(1,0,0,-1),\,(0,1,0,1),\,(0,0,1,1),\,(1,0,0,1)\}
é linearmente independente em \mathbb{R}^4. Isto significa provar que, se
a(1,0,0,-1) + b(0,1,0,1) + c(0,0,1,1) + d(1,0,0,1) = (0,0,0,0),
então necessariamente a=b=c=d=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear componente a componente, temos
\bigl(a+d,\;b,\;c,\;-a + b + c + d\bigr) = (0,0,0,0).
Isto gera o sistema de equações
\begin{cases} a + d = 0,\\\ b = 0,\\\ c = 0,\\\\ -\,a + b + c + d = 0. \end{cases}

Passo 3

Da segunda e terceira equações segue imediatamente
b = 0,\qquad c = 0.
Da primeira equação obtém-se
d = -\,a.
Substituindo b=0, c=0 e d=-a na quarta equação,
-\,a + 0 + 0 + (-\,a) = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 0.
Então d = -\,a = 0.

Passo 4

Concluímos que as únicas soluções são
a = b = c = d = 0.
Logo a combinação linear trivial é a única possível, o que mostra que \gamma é linearmente independente em \mathbb{R}^4.

Resposta

Os vetores de \gamma são linearmente independentes.

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