Exercício 3.35 Mostre que o conjunto
é linearmente independente no espaço vetorial real
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é linearmente independente em
. Isto significa provar que, se
então necessariamente
.
Passo 2
Escrevendo a combinação linear componente a componente, temos
Isto gera o sistema de equações
Passo 3
Da segunda e terceira equações segue imediatamente
Da primeira equação obtém-se
Substituindo
,
e
na quarta equação,
Então
.
Passo 4
Concluímos que as únicas soluções são
Logo a combinação linear trivial é a única possível, o que mostra que
é linearmente independente em
.
Resposta
Os vetores de
são linearmente independentes.