Exercício 3.36 Considere as seguintes funções f(x)=x \quad e \quad g(x)=|x|. Mostre que o conjunto S=\{f(x), g(x)\} é linearmente independente no espaço vetorial \mathcal{C}([-1,1]).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções
f(x)=x
e
g(x)=|x|
são linearmente independentes no espaço vetorial \mathcal{C}([-1,1]) das funções contínuas em [-1,1]. Vamos usar a definição de independência linear: se
\alpha f(x) + \beta g(x) = 0
para todo x\in[-1,1], então devemos provar que \alpha=0 e \beta=0.

Passo 2

Partimos da combinação linear nula
\alpha\,f(x) + \beta\,g(x) = 0,
ou seja,
\alpha x + \beta |x| = 0
para todo x\in[-1,1].

Passo 3

Para x>0 temos |x|=x. Então a equação fica
\alpha x + \beta x = (\alpha+\beta)\,x = 0.
Como x\neq0, segue
\alpha + \beta = 0.

Passo 4

Para x<0 temos |x|=-x. Então
\alpha x + \beta(-x) = (\alpha-\beta)\,x = 0.
De novo x\neq0, daí
\alpha - \beta = 0.

Passo 5

Das equações
\alpha + \beta = 0
\alpha - \beta = 0
somamos para obter 2\alpha=0, logo \alpha=0, e então \beta=0. Isso mostra que a única combinação linear que dá a função zero é trivial.

Resposta

O conjunto S=\{f,g\} é linearmente independente em \mathcal{C}([-1,1]).

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