Exercício 3.36 Considere as seguintes funções
. Mostre que o conjunto
é linearmente independente no espaço vetorial
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
e
são linearmente independentes no espaço vetorial
das funções contínuas em
. Vamos usar a definição de independência linear: se
para todo
, então devemos provar que
e
.
Passo 2
Partimos da combinação linear nula
ou seja,
para todo
.
Passo 3
Para
temos
. Então a equação fica
Como
, segue
Passo 4
Para
temos
. Então
De novo
, daí
Passo 5
Das equações
somamos para obter
, logo
, e então
. Isso mostra que a única combinação linear que dá a função zero é trivial.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.