Prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência lógica
Informações dadas:
-
e são conjuntos quaisquer. -
denota o conjunto das partes (power set) de um conjunto , isto é, o conjunto de todos os subconjuntos de .
O que precisa ser mostrado:
- Mostrar que se
então . - Mostrar que se
então .
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vou usar (explicadinhos):
- Definição de power set:
. Ou seja, um elemento de é exatamente um subconjunto de . - Igualdade de conjuntos: dois conjuntos
e são iguais se, e somente se, e . Essa é a maneira padrão de provar igualdade de conjuntos: provar as duas inclusões. - Subconjunto e singleton: para um elemento
, a notação é o conjunto que contém apenas . Observação útil e simples: ocorre exatamente quando . Vou usar essa equivalência na direção contrária da prova.
Passo 3
Prova da implicação direta: suponha
. Quero mostrar
.
-
Mostro
.
Seja. Por definição de power set, isso significa . Como , todo elemento de está em , logo . Novamente pela definição de power set, . Como o foi um elemento arbitrário de , segue . -
Mostro
de modo análogo: seja . Então . Como , tem-se , isto é, . Portanto .
Com as duas inclusões, conclui-se
.
Passo 4
Prova da implicação recíproca: suponha
. Quero deduzir
. Vou mostrar as duas inclusões
e
.
-
Mostro
.
Tome um elemento arbitrário. Considere o singleton . Pelo fato de segue , portanto . Como pela hipótese, tem-se . Assim , o que implica . Como foi arbitrário em , obtemos . -
Mostro
de forma simétrica.
Seja. Então , logo . Pela igualdade das power sets, , de modo que e portanto . Assim .
Com
e
concluímos
.
Passo 5
Comentário didático-final (empurrãozinho de confiança): a ideia-chave da direção difícil foi olhar para singletons
. Eles traduzem pertencimento de elementos em afirmações sobre subconjuntos, e isso conecta diretamente elementos de
com elementos de
. Esse é um truque muito útil em teoria de conjuntos: passar de “elemento” para “singleton” transforma questão de pertença em questão de subconjunto, que é o tipo de informação contida nas power sets.