Prove que
A=B \Longleftrightarrow \mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B) .

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência lógica
A=B \Longleftrightarrow \mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B).
Informações dadas:
  • A e B são conjuntos quaisquer.
  • \mathcal{P}(X) denota o conjunto das partes (power set) de um conjunto X, isto é, o conjunto de todos os subconjuntos de X.
O que precisa ser mostrado:
  • Mostrar que se A=B então \mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B).
  • Mostrar que se \mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B) então A=B.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vou usar (explicadinhos):
  • Definição de power set: \mathcal{P}(X)=\{Y \mid Y\subseteq X\}. Ou seja, um elemento de \mathcal{P}(X) é exatamente um subconjunto de X.
  • Igualdade de conjuntos: dois conjuntos U e V são iguais se, e somente se, U\subseteq V e V\subseteq U. Essa é a maneira padrão de provar igualdade de conjuntos: provar as duas inclusões.
  • Subconjunto e singleton: para um elemento x, a notação \{x\} é o conjunto que contém apenas x. Observação útil e simples: \{x\}\subseteq X ocorre exatamente quando x\in X. Vou usar essa equivalência na direção contrária da prova.

Passo 3

Prova da implicação direta: suponha \;A=B\;. Quero mostrar \mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B).
  1. Mostro \mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B).
    Seja S\in\mathcal{P}(A). Por definição de power set, isso significa S\subseteq A. Como A=B, todo elemento de A está em B, logo S\subseteq B. Novamente pela definição de power set, S\in\mathcal{P}(B). Como o S foi um elemento arbitrário de \mathcal{P}(A), segue \mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B).
  2. Mostro \mathcal{P}(B)\subseteq\mathcal{P}(A) de modo análogo: seja T\in\mathcal{P}(B). Então T\subseteq B. Como B=A, tem-se T\subseteq A, isto é, T\in\mathcal{P}(A). Portanto \mathcal{P}(B)\subseteq\mathcal{P}(A).
Com as duas inclusões, conclui-se \mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B).

Passo 4

Prova da implicação recíproca: suponha \;\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\;. Quero deduzir A=B. Vou mostrar as duas inclusões A\subseteq B e B\subseteq A.
  1. Mostro A\subseteq B.
    Tome um elemento arbitrário x\in A. Considere o singleton \{x\}. Pelo fato de x\in A segue \{x\}\subseteq A, portanto \{x\}\in\mathcal{P}(A). Como \mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B) pela hipótese, tem-se \{x\}\in\mathcal{P}(B). Assim \{x\}\subseteq B, o que implica x\in B. Como x foi arbitrário em A, obtemos A\subseteq B.
  2. Mostro B\subseteq A de forma simétrica.
    Seja y\in B. Então \{y\}\subseteq B, logo \{y\}\in\mathcal{P}(B). Pela igualdade das power sets, \{y\}\in\mathcal{P}(A), de modo que \{y\}\subseteq A e portanto y\in A. Assim B\subseteq A.
Com A\subseteq B e B\subseteq A concluímos A=B.

Passo 5

Comentário didático-final (empurrãozinho de confiança): a ideia-chave da direção difícil foi olhar para singletons \{x\}. Eles traduzem pertencimento de elementos em afirmações sobre subconjuntos, e isso conecta diretamente elementos de A com elementos de \mathcal{P}(A). Esse é um truque muito útil em teoria de conjuntos: passar de “elemento” para “singleton” transforma questão de pertença em questão de subconjunto, que é o tipo de informação contida nas power sets.

Resposta

\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\Longleftrightarrow A=B

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