Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos:
e
. As informações que temos são apenas que
e
são conjuntos quaisquer. A tarefa é demonstrar que os dois conjuntos escritos são exatamente iguais (contêm os mesmos elementos).
Passo 2
Vou recordar definições fundamentais (isso é importante para você entender cada passo):
- Definição do complemento relativo (diferença):
Isto significa que um elemento está em
quando ele pertence a
mas não pertence a
.
- Definição de união:
Aqui “ou” é inclusivo: se
está em
, ou em
, ou em ambos, então
.
- Método padrão para provar igualdade de conjuntos: para mostrar que
costuma-se provar duas inclusões: e . Se cada elemento de está em e vice-versa, então e são iguais.
Passo 3
Provar a primeira inclusão:
.
Seja
um elemento arbitrário tal que
. Pela definição de união, isso significa que ou
ou
.
- Caso 1:
. Pela definição de diferença, então e . Como , pela definição de união temos . - Caso 2:
. Então, novamente pela definição de união, .
Em ambos os casos concluímos
. Como
foi arbitrário, temos
Passo 4
Provar a segunda inclusão:
.
Seja
um elemento arbitrário tal que
. Pela definição de união, ou
ou
.
- Caso 1:
. Então claramente porque está em , e a união admite elementos vindos de . - Caso 2:
. Aqui precisamos separar se também pertence a ou não: - Se
, então e , isto é, . Logo . - Se
, então estamos de volta ao Caso 1 e já sabemos que .
- Se
Em todas as subpossibilidades,
. Como
foi arbitrário, segue que
Passo 5
Tendo provado as duas inclusões
concluímos que os conjuntos são iguais. Uma explicação intuitiva: remover de
os elementos que também estão em
e depois juntar
de novo equivale a simplesmente juntar
e
desde o início — nada se perde nem sobra.
Passo 6
Um exemplo rápido para fixar: seja
Então
e
Os dois lados coincidem, como provado acima.