Prove que (A \backslash B) \cup B=A \cup B.

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos: (A\backslash B)\cup B e A\cup B. As informações que temos são apenas que A e B são conjuntos quaisquer. A tarefa é demonstrar que os dois conjuntos escritos são exatamente iguais (contêm os mesmos elementos).

Passo 2

Vou recordar definições fundamentais (isso é importante para você entender cada passo):
  • Definição do complemento relativo (diferença): A\backslash B=\{x\mid x\in A\\ \text{e}\\ x\notin B\}.
Isto significa que um elemento está em A\backslash B quando ele pertence a A mas não pertence a B.
  • Definição de união: X\cup Y=\{x\mid x\in X\\ \text{ou}\\ x\in Y\}.
Aqui “ou” é inclusivo: se x está em X, ou em Y, ou em ambos, então x\in X\cup Y.
  • Método padrão para provar igualdade de conjuntos: para mostrar que U=V costuma-se provar duas inclusões: U\subseteq V e V\subseteq U. Se cada elemento de U está em V e vice-versa, então U e V são iguais.

Passo 3

Provar a primeira inclusão: (A\backslash B)\cup B \subseteq A\cup B.
Seja x um elemento arbitrário tal que x\in (A\backslash B)\cup B. Pela definição de união, isso significa que ou x\in A\backslash B ou x\in B.
  • Caso 1: x\in A\backslash B. Pela definição de diferença, então x\in A e x\notin B. Como x\in A, pela definição de união temos x\in A\cup B.
  • Caso 2: x\in B. Então, novamente pela definição de união, x\in A\cup B.
Em ambos os casos concluímos x\in A\cup B. Como x foi arbitrário, temos (A\backslash B)\cup B \subseteq A\cup B.

Passo 4

Provar a segunda inclusão: A\cup B \subseteq (A\backslash B)\cup B.
Seja x um elemento arbitrário tal que x\in A\cup B. Pela definição de união, ou x\in A ou x\in B.
  • Caso 1: x\in B. Então claramente x\in (A\backslash B)\cup B porque está em B, e a união admite elementos vindos de B.
  • Caso 2: x\in A. Aqui precisamos separar se x também pertence a B ou não:
    • Se x\notin B, então x\in A e x\notin B, isto é, x\in A\backslash B. Logo x\in (A\backslash B)\cup B.
    • Se x\in B, então estamos de volta ao Caso 1 e já sabemos que x\in (A\backslash B)\cup B.
Em todas as subpossibilidades, x\in (A\backslash B)\cup B. Como x foi arbitrário, segue que A\cup B \subseteq (A\backslash B)\cup B.

Passo 5

Tendo provado as duas inclusões
(A\backslash B)\cup B \subseteq A\cup B \qquad\text{e}\qquad A\cup B \subseteq (A\backslash B)\cup B,
concluímos que os conjuntos são iguais. Uma explicação intuitiva: remover de A os elementos que também estão em B e depois juntar B de novo equivale a simplesmente juntar A e B desde o início — nada se perde nem sobra.

Passo 6

Um exemplo rápido para fixar: seja A=\{1,2\},\qquad B=\{2,3\}.
Então A\backslash B=\{1\},\qquad (A\backslash B)\cup B=\{1,2,3\},
e A\cup B=\{1,2,3\}.
Os dois lados coincidem, como provado acima.

Resposta

(A\backslash B)\cup B = A\cup B

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