Prove a Lei Distributiva à direita:
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos:
As informações dadas são apenas que
,
e
são conjuntos quaisquer. A tarefa é demonstrar que os dois lados da igualdade representam exatamente o mesmo conjunto.
Passo 2
Plano de prova (explicado de forma didática): a maneira padrão e mais direta de provar uma igualdade entre conjuntos é mostrar inclusão mútua, isto é, provar que
e também que
Se cada lado está contido no outro, então os dois lados são iguais. Vou usar uma prova por “element chasing” (seguir um elemento): pego um elemento genérico do conjunto da esquerda e mostro que ele pertence ao da direita, e vice‑versa. Essa técnica só usa definições básicas (pertinência, união, interseção) e é a mais comum em provas de conjuntos — funciona bem na prova de distributividade.
Passo 3
Prova da inclusão
Seja
um elemento arbitrário tal que
Pelo significado de interseção,
e
. Pelo significado de união,
implica que
ou
. Então temos duas possibilidades:
- Se
e também , então . - Se
e também , então .
Em qualquer um dos dois casos,pertence a ou a , isto é,
Como
foi um elemento arbitrário de
, concluímos que todo elemento desse conjunto pertence a
. Logo
Passo 4
Prova da inclusão contrária
Seja
um elemento arbitrário tal que
Pelo significado de união, isso significa que ou
ou
.
-
Caso
: então e . Como implica , temos e . Portanto . -
Caso
: então e . Como implica , segue que e . Portanto .
Em ambos os subcasos
. Como
foi arbitrário, todo elemento de
pertence a
. Logo
Passo 5
Como mostramos as duas inclusões
conclui‑se que os dois conjuntos são iguais — isto é, há inclusão mútua.
Passo 6
Interpretação intuitiva (ajuda a fixar): a interseção com
seleciona os elementos que estão em
. Primeiro formar
e depois intersectar com
dá todos os elementos que estão em
e estão em
ou em
. Se em vez disso primeiro intersectamos
e
com
, obtemos os elementos de
que estão em
e os elementos de
que estão em
; a união desses dois conjuntos é exatamente os elementos de
que estão em
ou em
. As duas operações dão o mesmo resultado.
Passo 7
Exemplo concreto para treinar: deixe
Então
Por outro lado
Os dois lados coincidem, confirmando a igualdade no exemplo.
Passo 8
Dica para a prova em prova: faça sempre inclusão dos dois lados com um elemento genérico; escreva claramente qual hipótese de pertinência está sendo usada em cada passo (ex.: "como
então
ou
"), e trate os casos separados quando aparecer um “ou”. Isso evita confusão e é rápido de fazer durante a prova. Força — você consegue!