Prove a Lei Distributiva à direita:
(B \cup C) \cap A=(B \cap A) \cup(C \cap A) .

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade entre dois conjuntos:
(B\cup C)\cap A = (B\cap A)\cup(C\cap A).
As informações dadas são apenas que A, B e C são conjuntos quaisquer. A tarefa é demonstrar que os dois lados da igualdade representam exatamente o mesmo conjunto.

Passo 2

Plano de prova (explicado de forma didática): a maneira padrão e mais direta de provar uma igualdade entre conjuntos é mostrar inclusão mútua, isto é, provar que
(B\cup C)\cap A \subseteq (B\cap A)\cup(C\cap A)
e também que
(B\cap A)\cup(C\cap A) \subseteq (B\cup C)\cap A.
Se cada lado está contido no outro, então os dois lados são iguais. Vou usar uma prova por “element chasing” (seguir um elemento): pego um elemento genérico do conjunto da esquerda e mostro que ele pertence ao da direita, e vice‑versa. Essa técnica só usa definições básicas (pertinência, união, interseção) e é a mais comum em provas de conjuntos — funciona bem na prova de distributividade.

Passo 3

Prova da inclusão
(B\cup C)\cap A \subseteq (B\cap A)\cup(C\cap A).
Seja x um elemento arbitrário tal que
x \in (B\cup C)\cap A.
Pelo significado de interseção, x\in (B\cup C) e x\in A. Pelo significado de união, x\in (B\cup C) implica que x\in B ou x\in C. Então temos duas possibilidades:
  • Se x\in B e também x\in A, então x\in B\cap A.
  • Se x\in C e também x\in A, então x\in C\cap A.
    Em qualquer um dos dois casos, x pertence a (B\cap A) ou a (C\cap A), isto é,
x \in (B\cap A)\cup(C\cap A).
Como x foi um elemento arbitrário de (B\cup C)\cap A, concluímos que todo elemento desse conjunto pertence a (B\cap A)\cup(C\cap A). Logo
(B\cup C)\cap A \subseteq (B\cap A)\cup(C\cap A).

Passo 4

Prova da inclusão contrária
(B\cap A)\cup(C\cap A) \subseteq (B\cup C)\cap A.
Seja x um elemento arbitrário tal que
x \in (B\cap A)\cup(C\cap A).
Pelo significado de união, isso significa que ou x\in B\cap A ou x\in C\cap A.
  • Caso x\in B\cap A: então x\in B e x\in A. Como x\in B implica x\in B\cup C, temos x\in B\cup C e x\in A. Portanto x\in (B\cup C)\cap A.
  • Caso x\in C\cap A: então x\in C e x\in A. Como x\in C implica x\in B\cup C, segue que x\in B\cup C e x\in A. Portanto x\in (B\cup C)\cap A.
Em ambos os subcasos x\in (B\cup C)\cap A. Como x foi arbitrário, todo elemento de (B\cap A)\cup(C\cap A) pertence a (B\cup C)\cap A. Logo
(B\cap A)\cup(C\cap A) \subseteq (B\cup C)\cap A.

Passo 5

Como mostramos as duas inclusões
(B\cup C)\cap A \subseteq (B\cap A)\cup(C\cap A) \qquad\text{e}\qquad (B\cap A)\cup(C\cap A) \subseteq (B\cup C)\cap A,
conclui‑se que os dois conjuntos são iguais — isto é, há inclusão mútua.

Passo 6

Interpretação intuitiva (ajuda a fixar): a interseção com A seleciona os elementos que estão em A. Primeiro formar B\cup C e depois intersectar com A dá todos os elementos que estão em A e estão em B ou em C. Se em vez disso primeiro intersectamos B e C com A, obtemos os elementos de B que estão em A e os elementos de C que estão em A; a união desses dois conjuntos é exatamente os elementos de A que estão em B ou em C. As duas operações dão o mesmo resultado.

Passo 7

Exemplo concreto para treinar: deixe
A=\{1,2,3\},\quad B=\{1,4\},\quad C=\{2,5\}.
Então
B\cup C=\{1,2,4,5\},\quad (B\cup C)\cap A=\{1,2\}.
Por outro lado
B\cap A=\{1\},\quad C\cap A=\{2\},\quad (B\cap A)\cup(C\cap A)=\{1,2\}.
Os dois lados coincidem, confirmando a igualdade no exemplo.

Passo 8

Dica para a prova em prova: faça sempre inclusão dos dois lados com um elemento genérico; escreva claramente qual hipótese de pertinência está sendo usada em cada passo (ex.: "como x\in B\cup C então x\in B ou x\in C"), e trate os casos separados quando aparecer um “ou”. Isso evita confusão e é rápido de fazer durante a prova. Força — você consegue!

Resposta

(B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup(C\cap A)

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